Intervalli di $RR$
Alcune domande:
1-Si chiama intorno completo di un numero reale a un qualsiasi intervallo aperto contenente a. Allora anche un intorno destro o sinistro di a possono considerarsi intorni completi?
2-E' vero che tra due numeri reali cìè sempre un numero razionale e che tra due numeri razionali ci sono infiniti numeri reali?
3-La frontiera di un insieme E coincide con l'insieme formato da supE e infE?
4-Esiste un metodo pratico per individuare i punti di accumulazione di un insieme?
1-Si chiama intorno completo di un numero reale a un qualsiasi intervallo aperto contenente a. Allora anche un intorno destro o sinistro di a possono considerarsi intorni completi?
2-E' vero che tra due numeri reali cìè sempre un numero razionale e che tra due numeri razionali ci sono infiniti numeri reali?
3-La frontiera di un insieme E coincide con l'insieme formato da supE e infE?
4-Esiste un metodo pratico per individuare i punti di accumulazione di un insieme?
Risposte
Nell'ordine: no, sì, sì, sì (basta guardare attentamente).
Il no è dovuto al fatto che un intorno destro [risp. sinistro] di $x_0$, ossia un intervallo del tipo $[x_0,x_0+delta[$ [risp. $]x_0-delta,x_0]$] (con $delta >0$), non contiene $x_0$ come punto interno.
Il no è dovuto al fatto che un intorno destro [risp. sinistro] di $x_0$, ossia un intervallo del tipo $[x_0,x_0+delta[$ [risp. $]x_0-delta,x_0]$] (con $delta >0$), non contiene $x_0$ come punto interno.
Non sono d'accordo con il sì per la terza risposta, perché parla di un insieme generico E e non specifica che sia un intervallo. Ad esempio
$E={x| x=(n+1)/(2n-5) ^^ n in NN}$ ha come i punto di accumulazione $1/2$ che non è né sup né inf, oppure $E=]1, 2[ uu ]3, 4[$ ha nella frontiera anche 2 e 3.
$E={x| x=(n+1)/(2n-5) ^^ n in NN}$ ha come i punto di accumulazione $1/2$ che non è né sup né inf, oppure $E=]1, 2[ uu ]3, 4[$ ha nella frontiera anche 2 e 3.
Mi pare di capire che la terza domanda abbia risposta affermativa nel caso E sia un intervallo. Benissimo, grazie per le risposte.
"@melia":
Non sono d'accordo con il sì per la terza risposta, perché parla di un insieme generico E e non specifica che sia un intervallo. Ad esempio
$E={x| x=(n+1)/(2n-5) ^^ n in NN}$ ha come i punto di accumulazione $1/2$ che non è né sup né inf, oppure $E=]1, 2[ uu ]3, 4[$ ha nella frontiera anche 2 e 3.
Beh, che dire... sono stato fuorviato dal titolo del thread.
Ad ogni modo $\{"sup"E,"inf"E\} \subseteq partial E$, con uguaglianza se $E$ è un intervallo.
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