Intersezioni spazio 3D
Salve a tutti, innanzi tutto complimenti per il sito, molto utile per chi cerca dei chiarimenti nelle formule matematiche.
Come da titolo ho 2 quesiti da sottoporvi in ambito tridimensionale.
Il primo è:
avendo due punti P1(x1,y1,z1) e P2(x2,y2,z2) dovrei trovare i punti di intersezione tra la retta passante per P1 e P2 e una circonferenza di raggio r e centro C(x3,y3,z3).
Ho provato a cercare in giro ma non riesco proprio a capire quale formula (tra parametriche o cartesiane) devo mettere a sistema per trovare l'intersezione. Quindi chiedo a voi se potete impostarmi tale sistema.
Il secondo problema è:
avendo sempre due punti 3D (P1 e P2), vorrei trovare la retta passante per i due punti e l'insieme dei punti di intersezione tra questa retta e un fascio di rette passanti per il punto F che siano minori della distanza tra il punto F e il punto P1.
Anche in questo caso non son riuscito a trovare nulla di esplicito e semplice da capire per un neofita come me in materia, quindi vi chiedo gentilmente anch per questo di impostarmi il sistema se ne avrete voglia.
Grazie mille in anticipo a tutti, mi toglierete un grosso peso!
Come da titolo ho 2 quesiti da sottoporvi in ambito tridimensionale.
Il primo è:
avendo due punti P1(x1,y1,z1) e P2(x2,y2,z2) dovrei trovare i punti di intersezione tra la retta passante per P1 e P2 e una circonferenza di raggio r e centro C(x3,y3,z3).
Ho provato a cercare in giro ma non riesco proprio a capire quale formula (tra parametriche o cartesiane) devo mettere a sistema per trovare l'intersezione. Quindi chiedo a voi se potete impostarmi tale sistema.
Il secondo problema è:
avendo sempre due punti 3D (P1 e P2), vorrei trovare la retta passante per i due punti e l'insieme dei punti di intersezione tra questa retta e un fascio di rette passanti per il punto F che siano minori della distanza tra il punto F e il punto P1.
Anche in questo caso non son riuscito a trovare nulla di esplicito e semplice da capire per un neofita come me in materia, quindi vi chiedo gentilmente anch per questo di impostarmi il sistema se ne avrete voglia.
Grazie mille in anticipo a tutti, mi toglierete un grosso peso!
Risposte
"adanftre":
circonferenza di raggio r e centro C(x3,y3,z3).
Ma una circonferenza o una sfera? Perché se si tratta di una circonferenza nello spazio tridimensionale è necessario specificare il piano nel quale giace la circonferenza.
Per quanto riguarda la retta per due punti la puoi ricavare così:
\[r(t) := \mathbf{p_1} + t(\mathbf{p_2} - \mathbf{p_1}) \]
Dove \(t\) è un parametro reale.
\[r(t) := \mathbf{p_1} + t(\mathbf{p_2} - \mathbf{p_1}) \]
Dove \(t\) è un parametro reale.
Si scusatemi volevo dire una sfera, visto che dovrei trovare il punto di intersezione tra una retta passsante per 2 punti e una sfera in uno spazio tridimensionale.
"Emar":
Per quanto riguarda la retta per due punti la puoi ricavare così:
\[r: \mathbf{p_1} + t(\mathbf{p_2} - \mathbf{p_1}) \]
Dove \(t\) è un parametro reale.
Non riesco a capire quale asse devo utilizzare in P1 o P2, in che modo son definiti?
per il 1 problema puoi fare cosi:
trovi la retta che passa per i due punti
$ { ( x=x1+l t ),( y=y1+mt ),( z=z1+nt ):} $
dove l,m,n sono i parametri direttori, li trovi cosi
$ l=x2-x1,m=y2-y1,n=z2-z1 $
l'equazione della sfera dato il raggio e il centro è
$ (x-xc)^2+(y-yc)^2+(z-zc)^2=R^2 $
intersechi l eq.ni e ti trovi i punti in comune.
trovi la retta che passa per i due punti
$ { ( x=x1+l t ),( y=y1+mt ),( z=z1+nt ):} $
dove l,m,n sono i parametri direttori, li trovi cosi
$ l=x2-x1,m=y2-y1,n=z2-z1 $
l'equazione della sfera dato il raggio e il centro è
$ (x-xc)^2+(y-yc)^2+(z-zc)^2=R^2 $
intersechi l eq.ni e ti trovi i punti in comune.
Quindi fatemi capire bene quali parametri devo inserire nel primo problema:
Io ho $P_1=(x_1,y_1,z_1)$ e $P_2=(x_2,y_2,z_2)$
Uso la formula parametrica della retta passante per 2 punti in questo modo:
${(x_r=x_1+(x_2-x_1)t), (y_r=y_1+(y_2-y_1)t), (z_r=z_1+(z_2-z_1)t):}$
e trovo il punto $P_r=(x_r,y_r,z_r)$ sulla retta (se non erro).
Sviluppo l'equazione della sfera in questo modo:
$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$
dove le variabili $(a,b,c)=C_1$ che è il centro della sfera con coordinate a me note e
$d=a^2+b^2+c^2-r^2$
con $r$ che ovviamente è il raggio della sfera che io già conosco.
Ora quello che non capisco è se i tre valori trovati precedentemente ($x_r,y_r,z_r$) devo sostituirli all'equazione della sfera al posto dei parametri $x$,$y$ e $z$ tutti assieme oppure mi tocca fare un sistema con 3 equazioni della sfera e sostituirli in coppia, tipo:
${((x_r)^2+(y_r)^2+z^2-2a(x_r)-2b(y_r)-2cz+d=0),(x^2+(y_r)^2+(z_r)^2-2ax-2b(y_r)-2c(z_r)+d=0),((x_r)^2+y^2+(z_r)^2-2a(x_r)-2by-2c(z_r)+d=0):}$
così facendo dovrei trovare le coordinate dei due punti intersecanti la retta e la sfera, giusto?
p.s.: ma la variabile $t$ mi rimane fino alla fine e posso anche non considerarla giusto?
grazie mille
Io ho $P_1=(x_1,y_1,z_1)$ e $P_2=(x_2,y_2,z_2)$
Uso la formula parametrica della retta passante per 2 punti in questo modo:
${(x_r=x_1+(x_2-x_1)t), (y_r=y_1+(y_2-y_1)t), (z_r=z_1+(z_2-z_1)t):}$
e trovo il punto $P_r=(x_r,y_r,z_r)$ sulla retta (se non erro).
Sviluppo l'equazione della sfera in questo modo:
$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$
dove le variabili $(a,b,c)=C_1$ che è il centro della sfera con coordinate a me note e
$d=a^2+b^2+c^2-r^2$
con $r$ che ovviamente è il raggio della sfera che io già conosco.
Ora quello che non capisco è se i tre valori trovati precedentemente ($x_r,y_r,z_r$) devo sostituirli all'equazione della sfera al posto dei parametri $x$,$y$ e $z$ tutti assieme oppure mi tocca fare un sistema con 3 equazioni della sfera e sostituirli in coppia, tipo:
${((x_r)^2+(y_r)^2+z^2-2a(x_r)-2b(y_r)-2cz+d=0),(x^2+(y_r)^2+(z_r)^2-2ax-2b(y_r)-2c(z_r)+d=0),((x_r)^2+y^2+(z_r)^2-2a(x_r)-2by-2c(z_r)+d=0):}$
così facendo dovrei trovare le coordinate dei due punti intersecanti la retta e la sfera, giusto?
p.s.: ma la variabile $t$ mi rimane fino alla fine e posso anche non considerarla giusto?
grazie mille
cos'é $ Pr $ ?
l'equazione della retta la puoi trasformare in forma cartesiana cosi elimini il parametro t
poi hai:
l'equazione della retta in forma cartesiana
l'equazione della sfera
metti a sistema e trovi i punti in comune
l'equazione della retta la puoi trasformare in forma cartesiana cosi elimini il parametro t
poi hai:
l'equazione della retta in forma cartesiana
l'equazione della sfera
metti a sistema e trovi i punti in comune
"m91":
cos'é $ Pr $ ?
Sarebbe il punto sulla retta .
"m91":
l'equazione della retta la puoi trasformare in forma cartesiana cosi elimini il parametro t
Quindi l'equazione della retta in forma cartesiana sarebbe la seguente?
${((x-x_1)(y_2-y_1)=(y-y_1)(x_2-x_1)),((y-y_1)(z_2-z_1)=(z-z_1)(y_2-y_1)),((z-z_1)(x_2-x_1)=(x-x_1)(z_2-z_1)):}$
Quello che ancora non capisco è dove mettere i valori ricavati dal sistema appena citato nell'equazione della sfera.
Cioè la $(x,y,z)$ della retta è da sostituire con la $(x,y,z)$ che son presenti nella formula della sfera?
per trasformare in forma cartesiana ricaviamo t e uguagliamo:
esempio
$ { ( x=2t ),( y=1-t ),( z=t ):} $
$ t=x/2=1-y=z $
$ { ( x+2y-2=0 ),( x-2z=0 ):} $
il punto sulla retta non capisco a cosa ti serve, se hai dubbi posta i dati dell'esercizio.
esempio
$ { ( x=2t ),( y=1-t ),( z=t ):} $
$ t=x/2=1-y=z $
$ { ( x+2y-2=0 ),( x-2z=0 ):} $
il punto sulla retta non capisco a cosa ti serve, se hai dubbi posta i dati dell'esercizio.
I dati sono:
Avendo una circonferenza di centro $C_1(15,3,5)$con raggio $r=30,$ trovare l'interzezione tra questa circonferenza e la retta passante per i punti $P_1(12,16,-9)$ e $P_2(14,-30,2)$.
Il problema è che mi fermo alla retta perchè poi non capisco come metterla a sistema con la sfera.
Potreste indicarmi i passaggi con le formule?
Avendo una circonferenza di centro $C_1(15,3,5)$con raggio $r=30,$ trovare l'interzezione tra questa circonferenza e la retta passante per i punti $P_1(12,16,-9)$ e $P_2(14,-30,2)$.
Il problema è che mi fermo alla retta perchè poi non capisco come metterla a sistema con la sfera.
Potreste indicarmi i passaggi con le formule?
allora ti trovi i parametri direttori sottraendo le coordinate P2-P1
quindi l=2 m=-46 n=11
$ { ( x=12+2t ),( y=16-46t ),( z=-9+11t ):} $
$ t=(x-12)/ 2 = (16-y)/46=(z+9)/11 $
ora hai una retta come intersezione di due piani
$ { ( 23x+y-292=0 ),( 11x-2z-150=0 ):} $
da qui puoi notare che i punti appartengono alla retta generata dai due piani
ora ti trovi l equazione della sfera
$ (x-15)^2+(y-3)^2+(z-5)^2=30^2 $
$ x^2+y^2+z^2-30x-6y-10z-641=0 $
ora devi trovare i punti in comune risolvendo il sistema
$ { ( 23x+y-292=0 ),( 11x-2z-150=0 ),( x^2+y^2+z^2-30x-6y-10z-641=0 ):} $
quindi l=2 m=-46 n=11
$ { ( x=12+2t ),( y=16-46t ),( z=-9+11t ):} $
$ t=(x-12)/ 2 = (16-y)/46=(z+9)/11 $
ora hai una retta come intersezione di due piani
$ { ( 23x+y-292=0 ),( 11x-2z-150=0 ):} $
da qui puoi notare che i punti appartengono alla retta generata dai due piani
ora ti trovi l equazione della sfera
$ (x-15)^2+(y-3)^2+(z-5)^2=30^2 $
$ x^2+y^2+z^2-30x-6y-10z-641=0 $
ora devi trovare i punti in comune risolvendo il sistema
$ { ( 23x+y-292=0 ),( 11x-2z-150=0 ),( x^2+y^2+z^2-30x-6y-10z-641=0 ):} $
Haaa ecco com'era!
grazie mille ora ho capito!
grazie mille ora ho capito!
Secondo me è molto meglio tenere le equazioni della retta in forma parametrica e non sviluppare l'equazione della sfera.
L'equazioni della retta è come ti è stato detto
\[
\begin{cases}
x = x_1 + (x_2 - x_1)\,t \\
y = y_1 + (y_2 - y_1)\,t \\
z = z_1 + (z_2 - z_1)\,t
\end{cases}
\]
A questo punto scrivi l'equazione della sfera come
\[ (x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 + (z - z_C)^2 = R^2 \]
Sostituisci quindi a \(x, y, z\) le equazioni della retta e ottieni:
\[ (x_1 + (x_2 - x_1)\,t - x_C)^2 + (y_1 + (y_2 - y_1)\,t - y_C)^2 + (z_1 + (z_2 - z_1)\,t - z_C)^2 = R^2 \]
Sviluppando i calcoli ottieni una equazione di secondo grado nella sola incognita \(t\) che puoi facilmente risolvere.. A seconda del numero di soluzioni la retta sarà tangente, secante oppure non intersecare affatto. Il punto lo trovi andando a sostituire il valore di \(t\) nell'equazione parametrica della retta.
L'equazioni della retta è come ti è stato detto
\[
\begin{cases}
x = x_1 + (x_2 - x_1)\,t \\
y = y_1 + (y_2 - y_1)\,t \\
z = z_1 + (z_2 - z_1)\,t
\end{cases}
\]
A questo punto scrivi l'equazione della sfera come
\[ (x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 + (z - z_C)^2 = R^2 \]
Sostituisci quindi a \(x, y, z\) le equazioni della retta e ottieni:
\[ (x_1 + (x_2 - x_1)\,t - x_C)^2 + (y_1 + (y_2 - y_1)\,t - y_C)^2 + (z_1 + (z_2 - z_1)\,t - z_C)^2 = R^2 \]
Sviluppando i calcoli ottieni una equazione di secondo grado nella sola incognita \(t\) che puoi facilmente risolvere.. A seconda del numero di soluzioni la retta sarà tangente, secante oppure non intersecare affatto. Il punto lo trovi andando a sostituire il valore di \(t\) nell'equazione parametrica della retta.
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