Intersezioni e somme di sottospazi
Ciao! Se \(\displaystyle U,W \) sono sottospazi di \(\displaystyle V/K \), allora sono sottospazi anche \(\displaystyle U\cap W \) e \(\displaystyle U+W \).
Parto dal primo sottospazio.
i) Chiaramente \(\displaystyle \mathbf{0}_V\in U \) e \(\displaystyle \mathbf{0}_V\in W \) per definizione di sottospazio, quindi sta anche nell'intersezione.
ii) Se \(\displaystyle \mathbf{x}\in U\cap W \), allora \(\displaystyle \mathbf{x}\in U \) e quindi \(\displaystyle a\mathbf{x}\in U \) poiché $U$ essendo sottospazio di $V$ è chiuso per prodotti con uno scalare. Analogo discorso vale per $W$.
iii) Analogamente, se \(\displaystyle \mathbf{x},\mathbf{y}\in U\cap W \), allora stanno in particolare anche in $U$ e siccome quest'ultimo è chiuso per la somma in $V$ si ha la tesi. Stessa roba per $W$.
Per il secondo:
i) \(\displaystyle \mathbf{0}_V+\mathbf{0}_V=\mathbf{0}_V\in U+W. \)
ii) Prendo il generico vettore dello spazio somma, \(\displaystyle \mathbf{u}+\mathbf{w} \), allora \(\displaystyle a(\mathbf{u}+\mathbf{w})=a\mathbf{u}+a\mathbf{w}\in U+W \) poiché \(\displaystyle a\mathbf{u}\in U \) per definizione di sottospazio e analogamente per $W$.
iii) Poiché \(\displaystyle (\mathbf{u}_1+\mathbf{w}_1)+(\mathbf{u}_1+\mathbf{w}_2)=(\mathbf{u_1}+\mathbf{u}_2)+(\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2) \) vale un discorso simile a quello fatto sopra, siccome \(\displaystyle (\mathbf{u_1}+\mathbf{u}_2)\in U \) e analogamente \(\displaystyle (\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2)\in W \).
Questa mi sembra corretta, però non riesco a convincermene al 100%. Anche un piccolo cenno da parte vostra quindi mi farebbe davvero piacere!
Parto dal primo sottospazio.
i) Chiaramente \(\displaystyle \mathbf{0}_V\in U \) e \(\displaystyle \mathbf{0}_V\in W \) per definizione di sottospazio, quindi sta anche nell'intersezione.
ii) Se \(\displaystyle \mathbf{x}\in U\cap W \), allora \(\displaystyle \mathbf{x}\in U \) e quindi \(\displaystyle a\mathbf{x}\in U \) poiché $U$ essendo sottospazio di $V$ è chiuso per prodotti con uno scalare. Analogo discorso vale per $W$.
iii) Analogamente, se \(\displaystyle \mathbf{x},\mathbf{y}\in U\cap W \), allora stanno in particolare anche in $U$ e siccome quest'ultimo è chiuso per la somma in $V$ si ha la tesi. Stessa roba per $W$.
Per il secondo:
i) \(\displaystyle \mathbf{0}_V+\mathbf{0}_V=\mathbf{0}_V\in U+W. \)
ii) Prendo il generico vettore dello spazio somma, \(\displaystyle \mathbf{u}+\mathbf{w} \), allora \(\displaystyle a(\mathbf{u}+\mathbf{w})=a\mathbf{u}+a\mathbf{w}\in U+W \) poiché \(\displaystyle a\mathbf{u}\in U \) per definizione di sottospazio e analogamente per $W$.
iii) Poiché \(\displaystyle (\mathbf{u}_1+\mathbf{w}_1)+(\mathbf{u}_1+\mathbf{w}_2)=(\mathbf{u_1}+\mathbf{u}_2)+(\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2) \) vale un discorso simile a quello fatto sopra, siccome \(\displaystyle (\mathbf{u_1}+\mathbf{u}_2)\in U \) e analogamente \(\displaystyle (\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2)\in W \).
Questa mi sembra corretta, però non riesco a convincermene al 100%. Anche un piccolo cenno da parte vostra quindi mi farebbe davvero piacere!
Risposte
Anche questo è corretto. Però non ho mai visto la notazione $V$ / $K$ per indicare uno spazio vettoriale con corpo/campo $K$, diciamo che potrebbe fare confusione con lo spazio quoziente.
Ciao, grazie mille per la risposta. Personalmente non ho idea di cosa sia uno spazio quoziente, quindi almeno io non farò confusione! 
Comunque, come potrei denotarlo in modo da non creare ambiguità?
Comunque, come potrei denotarlo in modo da non creare ambiguità?
Ad esempio $V(K)$
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