Intersezioni e somma di basi vettoriali
Chi mi può aiutare sui primi tre punti di questo esame? Non so da dove partire!
E' una richiesta tipica che canno sempre, devo riuscire a comprendere il modus operandi assolutamente!
http://www.dmi.univ.trieste.it/geo-ing/ ... 270112.pdf
Ho lo stesso problema nell'identificare l'intersezione e la somma (diretta o no) tra ker(f) e Im(f). Anche rileggendo 20 volte la teoria non trovo esempi/discussioni e delucidazioni sufficienti a comprendere la metodologia di pensiero e approccio all'esercizio.
Ringrazio anticipatamente tutti i soccorritori!
E' una richiesta tipica che canno sempre, devo riuscire a comprendere il modus operandi assolutamente!
http://www.dmi.univ.trieste.it/geo-ing/ ... 270112.pdf
Ho lo stesso problema nell'identificare l'intersezione e la somma (diretta o no) tra ker(f) e Im(f). Anche rileggendo 20 volte la teoria non trovo esempi/discussioni e delucidazioni sufficienti a comprendere la metodologia di pensiero e approccio all'esercizio.
Ringrazio anticipatamente tutti i soccorritori!
Risposte
Ti chiederei, conformemente alle regole del forum, di cominciare a scrivere qualche tua idea per ogni esercizio, indicando le tue perplessità...
ok!
1) per il punto uno, vado a scrivere i vettori in una matrice e vedo se solo linearmente indipendenti.
$ ( ( 1 , 0 , 1 , -1 ),( 1 , 1, 0 , 1 ),( 2 , 1 , 1, 0) ) $
essendo la prima riga combinazione lineare della terza meno la seconda, posso concludere che una base per questo sottospazio vettoriale W1 siano le combinazioni lineari dei vettori ((1,1,0,1),(2,1,1,0))
2) Ci provo!nel senso trovo la base di W2, ovvero le combinazioni lineari di ((0,1,-1,2),(1,1,0,0)) [i vettori appena descritti sono linearmente indipendenti quindi formano una base se il punto 1) è corretto!]
Metto le due basi in un'unica matrice e vedo se sono linearmente indipendenti!
$ ( ( 1 , 1 , 0 , 1 ),( 2 , 1 , 1 , 0),( 0 , 1 , -1 , 2 ),( 1 , 1 , 0 , 0 ) ) $
Essendo la terza riga combinazione lineare della seconda meno due volte la prima, direi che l'insieme intersezione sia dato dai vettori ( ( 1 , 1 , 0 , 1 ),( 2 , 1 , 1 , 0),( 1 , 1 , 0 , 0 ) ), che forniscono una base per tale matrice.
La somma dei due sottospazi non ho proprio idea di come prenderla..Riesci a darmi almeno uno spunto?
Il mio ragionamento è corretto finora?
Grazie e scusa per il malinteso, credevo potessi postare senza scrivere il mio ragionamento!
1) per il punto uno, vado a scrivere i vettori in una matrice e vedo se solo linearmente indipendenti.
$ ( ( 1 , 0 , 1 , -1 ),( 1 , 1, 0 , 1 ),( 2 , 1 , 1, 0) ) $
essendo la prima riga combinazione lineare della terza meno la seconda, posso concludere che una base per questo sottospazio vettoriale W1 siano le combinazioni lineari dei vettori ((1,1,0,1),(2,1,1,0))
2) Ci provo!nel senso trovo la base di W2, ovvero le combinazioni lineari di ((0,1,-1,2),(1,1,0,0)) [i vettori appena descritti sono linearmente indipendenti quindi formano una base se il punto 1) è corretto!]
Metto le due basi in un'unica matrice e vedo se sono linearmente indipendenti!
$ ( ( 1 , 1 , 0 , 1 ),( 2 , 1 , 1 , 0),( 0 , 1 , -1 , 2 ),( 1 , 1 , 0 , 0 ) ) $
Essendo la terza riga combinazione lineare della seconda meno due volte la prima, direi che l'insieme intersezione sia dato dai vettori ( ( 1 , 1 , 0 , 1 ),( 2 , 1 , 1 , 0),( 1 , 1 , 0 , 0 ) ), che forniscono una base per tale matrice.
La somma dei due sottospazi non ho proprio idea di come prenderla..Riesci a darmi almeno uno spunto?
Il mio ragionamento è corretto finora?
Grazie e scusa per il malinteso, credevo potessi postare senza scrivere il mio ragionamento!
"Della92":
2) Ci provo!nel senso trovo la base di W2, ovvero le combinazioni lineari di ((0,1,-1,2),(1,1,0,0)) [i vettori appena descritti sono linearmente indipendenti quindi formano una base se il punto 1) è corretto!]
Metto le due basi in un'unica matrice e vedo se sono linearmente indipendenti!
$ ( ( 1 , 1 , 0 , 1 ),( 2 , 1 , 1 , 0),( 0 , 1 , -1 , 2 ),( 1 , 1 , 0 , 0 ) ) $
Essendo la terza riga combinazione lineare della seconda meno due volte la prima, direi che l'insieme intersezione sia dato dai vettori ( ( 1 , 1 , 0 , 1 ),( 2 , 1 , 1 , 0),( 1 , 1 , 0 , 0 ) ), che forniscono una base per tale matrice.
1) Ok!
3) $W_2$ è un sottospazio di dimensione $2$ e quella ne è una base. Il sottospazio somma è semplicemente $W_1 + W_2 = \{ w_1 + w_2 : w_1 \in W_1 , w_2 \in W_2 \}$ e quindi una sua base è $\{ ( 1 , 1 , 0 , 1 ),( 2 , 1 , 1 , 0),( 1 , 1 , 0 , 0 ) \}$ (che non è invece una base dell'intersezione... e non può esserlo anche perché $W_1$ e $W_2$ hanno dimensione $2$ e $W_1 nn W_2$ deve avere dimensione $<= 2$).
A questo punto usi Gram-Schmidt per ortonormalizzare tale base.
2) Una base per il sottospazio intersezione $W_1 nn W_2$ puoi trovarla risolvendo un sistema lineare omogeneo. Trovi le equazioni cartesiani per i due piani vettoriali $W_1$ e $W_2$ e li metti a sistema.
Per la formula di Grassman sai già che questo sottospazio ha dimensione $dim(W_1 nn W_2) = dim(W_1) + dim(W_2) - dim(W_1 + W_2) = 2 + 2 - 1 = 1$.
Ok! Perfetto, All'inizio avevo scritto che, appunto, la somma era l'intersezione delle due basi, ma ci avevo ripensato.
Ottimo davvero.
Una domanda sull'intersezione. Io con equazione cartesiana di un piano vettoriale intendo questa forma.
$ ax + by +cz + d = 0 $ ??
Devo trovare due di queste e fare un sistema delle due equazioni? Mi troverei con 2 equazioni e 4 variabili, non potrò mai definire un'unica soluzione al sistema!
(Se riesci, dimmi se ci sono analogie con la richiesta di interesezione e somma di ker(f) e Im(f)!)
Grazie mille, gentilissimo!
Ottimo davvero.
Una domanda sull'intersezione. Io con equazione cartesiana di un piano vettoriale intendo questa forma.
$ ax + by +cz + d = 0 $ ??
Devo trovare due di queste e fare un sistema delle due equazioni? Mi troverei con 2 equazioni e 4 variabili, non potrò mai definire un'unica soluzione al sistema!
(Se riesci, dimmi se ci sono analogie con la richiesta di interesezione e somma di ker(f) e Im(f)!)
Grazie mille, gentilissimo!
Tieni presente che sono piani (vettoriali) in $EE^4$! Prova a trovarne le equazioni.
Comunque è chiaro che il sistema non abbia un'unica soluzione: dalla formula di Grassman sai che la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo così impostato deve avere dimensione 1.
Comunque è chiaro che il sistema non abbia un'unica soluzione: dalla formula di Grassman sai che la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo così impostato deve avere dimensione 1.
Ok. Quindi sarà della forma
$ ax + by + cz + dt +e = 0 $
Le possibili soluzioni sono
1) fare il prodotto vettoriale dei due vettori che compongono il piano vettoriale, trovare il direttore normale al piano, i cui parametri andranno sostituiti al posto della a,b,c,d, dopo di che troverò la e imponendo il passaggio x un punto qualsiasi appartenente a uno dei due vettori costituenti il piano
2) scrivere l'equazione vettoriale $ A + t(A-B) + u(A-C) $, ricavarne la parametrice e di conseguenza, esplicitando i due parametri t e u, trovare l'equazione cartesiana.
Metto a sistema con l'equazione dell'altro piano e dovrò trovare un unico vettore: infatti il Sig. Grassman, come giustamente hai affermato, ci suggerisce che la dim del sottospazio intersezione dovrà essere 1!
Può andare!? Grazie!
$ ax + by + cz + dt +e = 0 $
Le possibili soluzioni sono
1) fare il prodotto vettoriale dei due vettori che compongono il piano vettoriale, trovare il direttore normale al piano, i cui parametri andranno sostituiti al posto della a,b,c,d, dopo di che troverò la e imponendo il passaggio x un punto qualsiasi appartenente a uno dei due vettori costituenti il piano
2) scrivere l'equazione vettoriale $ A + t(A-B) + u(A-C) $, ricavarne la parametrice e di conseguenza, esplicitando i due parametri t e u, trovare l'equazione cartesiana.
Metto a sistema con l'equazione dell'altro piano e dovrò trovare un unico vettore: infatti il Sig. Grassman, come giustamente hai affermato, ci suggerisce che la dim del sottospazio intersezione dovrà essere 1!
Può andare!? Grazie!
Non mi viene nulla...qualcuno in aiuto cortesemente?
non so come gestire un equazione di un piano in E4, nè se il procedimento che sto adottando è corretto.
non so come gestire un equazione di un piano in E4, nè se il procedimento che sto adottando è corretto.
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