Intersezioni di piani e sfere ( o altre figure) e distanza piano punto
ciao ragazzi ! ho un problemino da sottoporvi riguardate delle intersezioni:
un esercizio chiede di trovare il piano che passa per i punti : A (4,0,1) e B (4,2,-1) e tangente alla sfera di equazione: $ x^2+y^2+z^2=4 $
Ho costruito un fascio di piani con asse AB che risulta essere: $ \lambdax+\muy+\muz-4\lamda-2\mu=0 $
A questo punto mi blocco, il massimo che riesco a pensare è di fare un intersezione, quindi un sistema tra il fascio di piani e la sfera, ma non se ne esce fuori! qualche suggerimento?
Secondo dilemma:
Piano che passa per A(1,0,2) e B(0,1,2) con distanza 1 da origine.
-creo fascio di piani con asse AB, imposto formula della distanza:
$ (abs(-\lambda+\mu))/sqrt(2\lambda^2+2\mu^2+2\lambda\mu)=1 $
ma anche qua non ne vengo fuori!
ragazzi please mercoledì ho matematica da 12 crediti hellllpppppp
un esercizio chiede di trovare il piano che passa per i punti : A (4,0,1) e B (4,2,-1) e tangente alla sfera di equazione: $ x^2+y^2+z^2=4 $
Ho costruito un fascio di piani con asse AB che risulta essere: $ \lambdax+\muy+\muz-4\lamda-2\mu=0 $
A questo punto mi blocco, il massimo che riesco a pensare è di fare un intersezione, quindi un sistema tra il fascio di piani e la sfera, ma non se ne esce fuori! qualche suggerimento?
Secondo dilemma:
Piano che passa per A(1,0,2) e B(0,1,2) con distanza 1 da origine.
-creo fascio di piani con asse AB, imposto formula della distanza:
$ (abs(-\lambda+\mu))/sqrt(2\lambda^2+2\mu^2+2\lambda\mu)=1 $
ma anche qua non ne vengo fuori!
ragazzi please mercoledì ho matematica da 12 crediti hellllpppppp
Risposte
Ciao.
Per il primo problema, avendo il generico piano di equazione
$pi: ax+by+cz+d=0$ con $(a,b,c)!=(0,0,0)$
imponendo il passaggio dello stesso per i punti $A=(4,0,1)$ e $B=(4,2,-1)$, si ottiene il seguente fascio di piani
$pi: ax+cy+cz+(-4a-c)=0$ con $(a,c)!=(0,0)$.
La sfera di equazione
$S: x^2+y^2+z^2=4 $
è chiaramente centrata nell'origine $O$ degli assi coordinati e avente raggio pari a $2$; per fare in modo che il piano $pi$ sia tangente alla sfera $S$, è sufficiente richiedere che la distanza tra il piano ed il centro della sfera sia pari al raggio della sfera stessa.
In generale, dato $pi: ax+by+cz+d=0$, con $(a,b,c)!=(0,0,0)$, e dato $P_0=(x_0,y_0,z_0)$, vale
$d(pi,P_0)=|ax_0+by_0+cz_0+d|/sqrt(a^2+b^2+c^2)$
In questo caso si deve richiedere che
$d(pi,O)=2 Rightarrow d(pi,O)=|-4a-c|/sqrt(a^2+2c^2)=2$
da cui si ricavano (salvo miei errori di calcolo) le due soluzioni date da $a_1=c/2$ e $a_2=-7/6c$.
Il secondo problema è, sostanzialmente, analogo al primo.
Saluti.
Per il primo problema, avendo il generico piano di equazione
$pi: ax+by+cz+d=0$ con $(a,b,c)!=(0,0,0)$
imponendo il passaggio dello stesso per i punti $A=(4,0,1)$ e $B=(4,2,-1)$, si ottiene il seguente fascio di piani
$pi: ax+cy+cz+(-4a-c)=0$ con $(a,c)!=(0,0)$.
La sfera di equazione
$S: x^2+y^2+z^2=4 $
è chiaramente centrata nell'origine $O$ degli assi coordinati e avente raggio pari a $2$; per fare in modo che il piano $pi$ sia tangente alla sfera $S$, è sufficiente richiedere che la distanza tra il piano ed il centro della sfera sia pari al raggio della sfera stessa.
In generale, dato $pi: ax+by+cz+d=0$, con $(a,b,c)!=(0,0,0)$, e dato $P_0=(x_0,y_0,z_0)$, vale
$d(pi,P_0)=|ax_0+by_0+cz_0+d|/sqrt(a^2+b^2+c^2)$
In questo caso si deve richiedere che
$d(pi,O)=2 Rightarrow d(pi,O)=|-4a-c|/sqrt(a^2+2c^2)=2$
da cui si ricavano (salvo miei errori di calcolo) le due soluzioni date da $a_1=c/2$ e $a_2=-7/6c$.
Il secondo problema è, sostanzialmente, analogo al primo.
Saluti.
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