Intersezione tra tre sfere nello spazio
Salve a tutti,
mi servirebbero le formule generiche per trovare i due punti derivati dall'intersezione di 3 sfere nello spazio.
Io ho provato a calcolarle più volte ma ongni volta mi da risultati non corretti.
Supposto di avere le equazioni generiche di tre sfere:
\(x^2 + y^2 + z^2 +a_0x + b_0y + c_0z + d_0 = 0 \)
\(x^2 + y^2 + z^2 +e_0x + f_0y + g_0z + h_0 = 0 \)
\(x^2 + y^2 + z^2 +i_0x + l_0y + m_0z + n_0 = 0 \)
sottraggo alla prima sfera l'equazione della seconda ed ottengo un piano:
\(ax + by + cz + d = 0\)
sottraggo alla prima sfera l'equazione della terza ed ottengo un altro piano:
\(ex + fy + gz + h = 0\)
Metto a sistema i due piani con l'equazione della prima sfera, cercando di isolare la z.
Dopo vari calcoli pongo
\(p1 = f - ((e*b)/a)\)
\(p2 = g - ((e*c)/a)\)
\(p3 = h - ((e*d)/a)\)
\(p4 = (((b*p2)/(a*p1))-(c/a))\)
\(p5 = ((b*p3)/p1)-(d/a)\)
\(p6 = -(p2/p1)\)
\(p7 = -(p3/p1)\)
di qui ho un equazione di secondo grado in funzione di \(z\) i cui parametri sono:
\(A = (p4*p4)+(p6*p6)+1;\)
\(B = (2*p4*p5)+(2*p6*p7)+(a_0*p4)+(b_0*p6)+c_0\)
\(C = (p5*p5)+(p7*p7)+(a_0*p5)+(b_0*p7)+d_0\)
Di qui trovo i due valori di z e di conseguenza di x e di y.
Purtroppo nei casi da me provati non trova soluzioni, anche se con gli stessi dati più una quarta sfera, e risolvendo quel sistema mi trova l'unico punto di intersezione.
Sapete perchè?
Avete delle formule sicuramente corrette?
Grazie, Emanuele
mi servirebbero le formule generiche per trovare i due punti derivati dall'intersezione di 3 sfere nello spazio.
Io ho provato a calcolarle più volte ma ongni volta mi da risultati non corretti.
Supposto di avere le equazioni generiche di tre sfere:
\(x^2 + y^2 + z^2 +a_0x + b_0y + c_0z + d_0 = 0 \)
\(x^2 + y^2 + z^2 +e_0x + f_0y + g_0z + h_0 = 0 \)
\(x^2 + y^2 + z^2 +i_0x + l_0y + m_0z + n_0 = 0 \)
sottraggo alla prima sfera l'equazione della seconda ed ottengo un piano:
\(ax + by + cz + d = 0\)
sottraggo alla prima sfera l'equazione della terza ed ottengo un altro piano:
\(ex + fy + gz + h = 0\)
Metto a sistema i due piani con l'equazione della prima sfera, cercando di isolare la z.
Dopo vari calcoli pongo
\(p1 = f - ((e*b)/a)\)
\(p2 = g - ((e*c)/a)\)
\(p3 = h - ((e*d)/a)\)
\(p4 = (((b*p2)/(a*p1))-(c/a))\)
\(p5 = ((b*p3)/p1)-(d/a)\)
\(p6 = -(p2/p1)\)
\(p7 = -(p3/p1)\)
di qui ho un equazione di secondo grado in funzione di \(z\) i cui parametri sono:
\(A = (p4*p4)+(p6*p6)+1;\)
\(B = (2*p4*p5)+(2*p6*p7)+(a_0*p4)+(b_0*p6)+c_0\)
\(C = (p5*p5)+(p7*p7)+(a_0*p5)+(b_0*p7)+d_0\)
Di qui trovo i due valori di z e di conseguenza di x e di y.
Purtroppo nei casi da me provati non trova soluzioni, anche se con gli stessi dati più una quarta sfera, e risolvendo quel sistema mi trova l'unico punto di intersezione.
Sapete perchè?
Avete delle formule sicuramente corrette?
Grazie, Emanuele
Risposte
Salve Emanuele
Ho avuto la necessità di risolvere il problema della intersezione tra tre sfere nello spazio e così ho trovato il tuo messaggio. Dopo essermi documentato sul libro di Geometria analitica di Giuseppe Vaccaro ho imparato definizioni interessanti come:
Fascio di Sfere
Piano Radicale tra due sfere , ecc.
Inaftti la operazione da te eseguita sottraendo S1 - S2 ed S1- S3 danno luogo alle equazioni dei piani di intersezione tra le sfere (Piani Radicali P1_2 e P1_3).
La tua strada per la risoluzione era giusta ma peccato che il risultato finale non è corretto. Semplicemente il mio vantaggio è stato quello di applicare la regola di Cramer per esplicitare la x e la y.
'equazione S1:x^2 +y^2 +z^2 +a0*x + b0*y +c0*z +d0=0
'equazione S2: x^2 +y^2 +z^2 +e0*x + f0*y +g0*z +h0=0
'equazione S3: x^2 +y^2 +z^2 +i0*x + l0*y +m0*z +n0=0
'sottraggo alla prima sfera l'equazione della seconda ed ottengo un pianoP1_2:a*x+b*y+c*z+d=0
a = a0 - e0
b = b0 - f0
c = c0 - g0
d = d0 - h0
'sottraggo alla prima sfera l'equazione della terza ed ottengo un altro pianoP1_3:e*x+f*y+g*z+h=0
e = a0 - i0
f = b0 - l0
g = c0 - m0
h = d0 - n0
'Metto a sistema i due piani con l'equazione della prima sfera, cercando di isolare la z.
'x=p1 + p2* z
p1 = (b * h - f * d) / (a * f - e * b)
p2 = (b * g - f * c) / (a * f - e * b)
'y=p3 + p4* z
p3 = (e * d - a * h) / (a * f - e * b)
p4 = (e * c - a * g) / (a * f - e * b)
'di qui ho un equazione di secondo grado in funzione di z i cui parametri sono: ar*z^2 + br*z + cr = 0
ar = p2 ^ 2 + p4 ^ 2 + 1
br = 2 * p1 * p2 + 2 * p3 * p4 + a0 * p2 + b0 * p4 + c0
cr = p1 ^ 2 + p3 ^ 2 + a0 * p1 + b0 * p3 + d0
Il risultato lo ho verificato con Autocad e funziona
Saluti
Ho avuto la necessità di risolvere il problema della intersezione tra tre sfere nello spazio e così ho trovato il tuo messaggio. Dopo essermi documentato sul libro di Geometria analitica di Giuseppe Vaccaro ho imparato definizioni interessanti come:
Fascio di Sfere
Piano Radicale tra due sfere , ecc.
Inaftti la operazione da te eseguita sottraendo S1 - S2 ed S1- S3 danno luogo alle equazioni dei piani di intersezione tra le sfere (Piani Radicali P1_2 e P1_3).
La tua strada per la risoluzione era giusta ma peccato che il risultato finale non è corretto. Semplicemente il mio vantaggio è stato quello di applicare la regola di Cramer per esplicitare la x e la y.
'equazione S1:x^2 +y^2 +z^2 +a0*x + b0*y +c0*z +d0=0
'equazione S2: x^2 +y^2 +z^2 +e0*x + f0*y +g0*z +h0=0
'equazione S3: x^2 +y^2 +z^2 +i0*x + l0*y +m0*z +n0=0
'sottraggo alla prima sfera l'equazione della seconda ed ottengo un pianoP1_2:a*x+b*y+c*z+d=0
a = a0 - e0
b = b0 - f0
c = c0 - g0
d = d0 - h0
'sottraggo alla prima sfera l'equazione della terza ed ottengo un altro pianoP1_3:e*x+f*y+g*z+h=0
e = a0 - i0
f = b0 - l0
g = c0 - m0
h = d0 - n0
'Metto a sistema i due piani con l'equazione della prima sfera, cercando di isolare la z.
'x=p1 + p2* z
p1 = (b * h - f * d) / (a * f - e * b)
p2 = (b * g - f * c) / (a * f - e * b)
'y=p3 + p4* z
p3 = (e * d - a * h) / (a * f - e * b)
p4 = (e * c - a * g) / (a * f - e * b)
'di qui ho un equazione di secondo grado in funzione di z i cui parametri sono: ar*z^2 + br*z + cr = 0
ar = p2 ^ 2 + p4 ^ 2 + 1
br = 2 * p1 * p2 + 2 * p3 * p4 + a0 * p2 + b0 * p4 + c0
cr = p1 ^ 2 + p3 ^ 2 + a0 * p1 + b0 * p3 + d0
Il risultato lo ho verificato con Autocad e funziona
Saluti
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