Intersezione tra rette sghembe

[Usernamer1]

ho le rette $ r{ ( x-y+z+4=0 ),( x+2y-z=0 ):} $ e $ s{ ( x+y-z-1=0 ),( x-2y-2=0 ):} $ e il punto $P=(-14,7,-2)$.
Come trovo un punto $Rinr$ tale che la retta passante per $P$ e $R$ intersechi la retta $s$ in un punto?
(Si sa già per certo che una retta che intersechi sia $s$ che $r$ esiste quindi non serve verificarlo)

[Sk_Anonymous]

"Usernamer":ho le rette $ r{ ( x-y+z+4=0 ),( x+2y-z=0 ):} $ e $ s{ ( x+y-z-1=0 ),( x-2y-2=0 ):} $ e il punto $ P=(-14,7,-2) $.
Come trovo un punto $ Rinr $ tale che la retta passante per $ P $ e $ R $ intersechi la retta $ s $ in un punto?

Ciao.

Provo a svolgere l'esercizio.

La retta $r$ può essere espressa in forma parametrica nel seguente modo:

$r{(x=t),(y=-2t-4),(z=-3t-8):}$

Si consideri un generico punto $R(t) in r$, quindi un punto del tipo

$R(t)=(t,-2t-4,-3t-8)$

Si ottiene il vettore

$vec(PR)(t)=R(t)-P=(t+14,-2t-11,-3t-6)$

grazie al quale è possibile definire una famiglia di rette $u_t(tau)=P+tau*vec(PR)(t)$:

$u_t(tau){(x_t(tau)=-14+tau*(t+14)),(y_t(tau)=7-tau*(2t+11)),(z_t(tau)=-2-tau*(3t+6)):}$

quindi il problema consiste nel trovare un opportuno valore di $t$ della coppia $(t,tau)$ in modo tale che

$(x_t(tau),y_t(tau),z_t(tau)) in s$

Si tratta, allora, di risolvere il sistema seguente

${(x_t(tau)+y_t(tau)-z_t(tau)-1=0),(x_t(tau)-2y_t(tau)-2=0):}$

da cui si ricava (omettendo i conti e salvo miei errori):

${(t=-9/5),(tau=10/9):}$

per cui

$R=R(-9/5)=(-9/5,-2/5,-13/5)$.

Spero di non aver commesso errori.

Saluti.