Intersezione spazi vettoriali
Volevo fare la citazione dalla parte di post scritta da Sergio solo che non riesco perchè facendo il copia e incolla mi riporta tutto tranne tutto quello che è scritto in Math...mmm...nn mi ricordo come si chiama..insomma nel linguaggio matematico! 
Premesso ciò la mia domanda è questa:
Se facciamo l'intersezione tra due spazi vettoriali $V$ e $W$ in modo che la loro intersezione contenga un numero $v_n$ di vettori(che inizialmente appartengono solo a $V$) non riesco a capacitarmi che è uno spazio vettoriale....
Cioè se per esempio $V$ è costituito da una infinità di numeri, $W$ da un'altra infinità di numeri e come vettori di $V$$nn$$W$ ho per esempio 1,2,3,4,5,6,7 io in pratica ho uno spazio vettoriale(appunto $V$$nn$$W$) costituito da i soli vettori 1,2,3,4,5,6,7......bene per me questo non è uno spazio vettoriale! Se uno spazio vettoriale per essere definito tale ha la proprietà che ogni combinazione lineare di suoi vettori da sempre un vettore dello spazio qui basta che faccio 1+2+3+4+5+6+7=28 per ottenere un vettore che sicuramente è in $V$ ma che però non possiamo dire che è in $V$$nn$$W$!
Premesso ciò la mia domanda è questa:
Se facciamo l'intersezione tra due spazi vettoriali $V$ e $W$ in modo che la loro intersezione contenga un numero $v_n$ di vettori(che inizialmente appartengono solo a $V$) non riesco a capacitarmi che è uno spazio vettoriale....
Cioè se per esempio $V$ è costituito da una infinità di numeri, $W$ da un'altra infinità di numeri e come vettori di $V$$nn$$W$ ho per esempio 1,2,3,4,5,6,7 io in pratica ho uno spazio vettoriale(appunto $V$$nn$$W$) costituito da i soli vettori 1,2,3,4,5,6,7......bene per me questo non è uno spazio vettoriale! Se uno spazio vettoriale per essere definito tale ha la proprietà che ogni combinazione lineare di suoi vettori da sempre un vettore dello spazio qui basta che faccio 1+2+3+4+5+6+7=28 per ottenere un vettore che sicuramente è in $V$ ma che però non possiamo dire che è in $V$$nn$$W$!
Risposte
O sono io che non ho capito o ci sono una marea di errori:
Prima di tutto (questo forse è un problema mio) non so come sia definita l'intersezione tra SPAZI vettoriali... al massimo sottospazi vettoriali. Seconda cosa se i $v_n$ vettori appartengono solo a V non staranno nell'intersezione con W. Terzo l'esempio che hai fatto non è valido, in quanto i vettori 1,2,3,4,5,6... sono multipli del vettore 1 per esempio. Quindi questo ipotetico spazio vettoriale avrebbe dimensione 1. Mi sa che hai le idee molto confuse riguardo la differenza tra insiemi e spazi vettoriali.
Prima di tutto (questo forse è un problema mio) non so come sia definita l'intersezione tra SPAZI vettoriali... al massimo sottospazi vettoriali. Seconda cosa se i $v_n$ vettori appartengono solo a V non staranno nell'intersezione con W. Terzo l'esempio che hai fatto non è valido, in quanto i vettori 1,2,3,4,5,6... sono multipli del vettore 1 per esempio. Quindi questo ipotetico spazio vettoriale avrebbe dimensione 1. Mi sa che hai le idee molto confuse riguardo la differenza tra insiemi e spazi vettoriali.
L'intersezione tra spazi vettoriali a quanto pare esiste....se vai a dare un'occhiata alle lezioni di Sergio lo trovi là. Ok ancora meglio....questo spazio vettoriale è costituito dal solo vettore 1....in questo caso ogni combinazione lineare di questo vettore sarebbe semplicemente $k*1$ con $k$ appartenente a $RR$...basta prendere $k$=$2$ e il vettore $2$ non appartiene allo spazio vettoriale...
Scusa, mi puoi riportare le esatte frasi in cui si definisce l'intersezione di spazi vettoriali diversi? la somma lo so che esiste, l'intersezione non la trovo neanche sulle dispense di Sergio.
Somma e intersezione di spazi vettoriali
Gli spazi vettoriali sono comunque insiemi, quindi ci si può chiedere che succede se proviamo l'unione e l'intersezione di due (o più) spazi vettoriali.
Sorpresa: l'intersezione di due spazi vettoriali è ancora uno spazio vettoriale, ma l'unione molto spesso no.
Si tratterebbe di capire perché.
E' nella prima pagina delle dispense di Sergio più o meno a metà...subito dopo questa cosa c'è l'esempio a cui facevo riferimento però generico...non posso riportarlo qui perchè facendo il copia e incolla non mi riporta quello che è scritto in formule
Allora il punto è che bisogna distinguere quando ha senso parlare di somma e intersezione di spazi vettoriali e quando no. Per esempio, non ha senso parlare di somma e intersezione tra lo spazio vettoriale delle matrici e quello dei polinomi.
Somma e intersezione di spazi vettoriali possiamo usarla quando parliamo di spazi vettoriali inseriti in spazi più grandi, Per esempio possiamo parlare di intersezione di due spazi vettoriali appartenenti allo spazio vettoriale delle matrici 3 x 3. Per esempio posso parlare di intersezione tra le matrici 3 x 3 con determinante nullo e le matrici 3 x 3 con traccia nulla.
In generale bisogna verificare che l'intersezione e la somma siano ben definite, e nel tuo caso non si capisce innanzitutto quali siano gli spazi vettoriali di partenza, e poi come sia questa intersezione, quindi puoi essere più chiaro?
Ora ti dimostro perché l'intersezione tra due sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale.
Intanto chiamo $Z = VnnW$. Per definizione di intersezione, Z conterrà tutti i vettori di V che si trovano anche in W.
Verifichiamo che è uno spazio vettoriale:
intanto banalmente lo 0 sta sia in V che in W.
Ora, se $zinZ -> cz in Z$ ($c in K$).
Questo deriva dal fatto che V e W siano spazi vettoriali, quindi chiusi per prodotto scalare, quindi se ho $v in V$, so che $cv in V$, e se $v in W$ anche $av in W$. ma allora av sta sia in V che in W, quindi nella loro intersezione.
Rimane da dimostrare che se $v,w in Z -> v+w in Z$.
Questa dimostrazione è analoga alla precedente, si rifà direttamente al fatto che V e W siano spazi vettoriali.
Comunque ti riporto il link a wikipedia in cui è spiegata l'intersezione e la somma tra sottospazi vettoriali:
http://it.wikipedia.org/wiki/Sottospazio_vettoriale
Come vedi tra sottospazi vettoriali si ha una somma e una intersezione diciamo naturali, che saltano subito all'occhio. Tra spazi vettoriali diversi questo non è così evidente, e non credo che abbia senso parlare per esempio di somma tra lo spazio delle matrici 3 x 3 e lo spazio dei polinomi in x a coefficienti in K di grado massimo 3
Somma e intersezione di spazi vettoriali possiamo usarla quando parliamo di spazi vettoriali inseriti in spazi più grandi, Per esempio possiamo parlare di intersezione di due spazi vettoriali appartenenti allo spazio vettoriale delle matrici 3 x 3. Per esempio posso parlare di intersezione tra le matrici 3 x 3 con determinante nullo e le matrici 3 x 3 con traccia nulla.
In generale bisogna verificare che l'intersezione e la somma siano ben definite, e nel tuo caso non si capisce innanzitutto quali siano gli spazi vettoriali di partenza, e poi come sia questa intersezione, quindi puoi essere più chiaro?
Ora ti dimostro perché l'intersezione tra due sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale.
Intanto chiamo $Z = VnnW$. Per definizione di intersezione, Z conterrà tutti i vettori di V che si trovano anche in W.
Verifichiamo che è uno spazio vettoriale:
intanto banalmente lo 0 sta sia in V che in W.
Ora, se $zinZ -> cz in Z$ ($c in K$).
Questo deriva dal fatto che V e W siano spazi vettoriali, quindi chiusi per prodotto scalare, quindi se ho $v in V$, so che $cv in V$, e se $v in W$ anche $av in W$. ma allora av sta sia in V che in W, quindi nella loro intersezione.
Rimane da dimostrare che se $v,w in Z -> v+w in Z$.
Questa dimostrazione è analoga alla precedente, si rifà direttamente al fatto che V e W siano spazi vettoriali.
Comunque ti riporto il link a wikipedia in cui è spiegata l'intersezione e la somma tra sottospazi vettoriali:
http://it.wikipedia.org/wiki/Sottospazio_vettoriale
Come vedi tra sottospazi vettoriali si ha una somma e una intersezione diciamo naturali, che saltano subito all'occhio. Tra spazi vettoriali diversi questo non è così evidente, e non credo che abbia senso parlare per esempio di somma tra lo spazio delle matrici 3 x 3 e lo spazio dei polinomi in x a coefficienti in K di grado massimo 3
Ok forse ho un'idea un po' più chiara sugli spazi vettoriali....ho bisogno di capire solo una cosa....ti riporto la prima parte della spiegazione di Sergio(ho capito finalmente come si fa!)
Credo di aver capito che gli spazi vettoriali sono insiemi illimitati....per esempio tu hai citato lo spazio delle matrici 3X3 che è fatto da infinite matrici 3X3....anche il sottospazio delle matrici 3X3 con determinante nullo però è infinito!....così come quello delle matrici 3X3 che hanno traccia nulla....insomma il numero di vettori di uno spazio vettoriale è infinito!
Quando lui ora dice prendiamo $n$ vettori di V si riferisce a un numero finito di vettori oppure a un numero sempre illimitato di vettori di V che hanno $n$ caratteristiche?
Perchè se poi andiamo a dire che lo spazio vettoriale intersezione è formato da quegli $n$ vettori appartenenti sia a $V$ che a $W$ cadiamo un po' in contraddizione perchè gli spazi vettoriali hanno infiniti oggetti.
Tradotto in un esempio più chiaro non potrebbe significare questo?:
$V$ è lo spazio delle matrici 3X3 con determinante nullo e $W$ è lo spazio vettoriale che contiene le matrici 3X3 con traccia nulla
Se ora prendiamo i vettori di $V$ tali che hanno anche traccia nulla(immagino ce ne saranno un'infinità) e facciamo l'intersezione con $W$ sicuramente avremo un numero infinito di questi vettori!
Quindi in questo caso forse avremmo detto Prendiamo $n=2$ vettori di $V$ col 2 che si riferisce al numero di proprietà che hanno questi vettori?(appunto determinante nullo e traccia nulla)
Immaginiamo di avere due spazi vettoriali, $V$ e $W$, e scegliamo $n$ vettori di $V$, $v_1,v_2,...,v_n$. Li scegliamo in modo tale che, se l'intersezione tra $V$ e $W$ non è vuota, quegli $n$ vettori appartengono anche a $W$.
Credo di aver capito che gli spazi vettoriali sono insiemi illimitati....per esempio tu hai citato lo spazio delle matrici 3X3 che è fatto da infinite matrici 3X3....anche il sottospazio delle matrici 3X3 con determinante nullo però è infinito!....così come quello delle matrici 3X3 che hanno traccia nulla....insomma il numero di vettori di uno spazio vettoriale è infinito!
Quando lui ora dice prendiamo $n$ vettori di V si riferisce a un numero finito di vettori oppure a un numero sempre illimitato di vettori di V che hanno $n$ caratteristiche?
Perchè se poi andiamo a dire che lo spazio vettoriale intersezione è formato da quegli $n$ vettori appartenenti sia a $V$ che a $W$ cadiamo un po' in contraddizione perchè gli spazi vettoriali hanno infiniti oggetti.
Tradotto in un esempio più chiaro non potrebbe significare questo?:
$V$ è lo spazio delle matrici 3X3 con determinante nullo e $W$ è lo spazio vettoriale che contiene le matrici 3X3 con traccia nulla
Se ora prendiamo i vettori di $V$ tali che hanno anche traccia nulla(immagino ce ne saranno un'infinità) e facciamo l'intersezione con $W$ sicuramente avremo un numero infinito di questi vettori!
Quindi in questo caso forse avremmo detto Prendiamo $n=2$ vettori di $V$ col 2 che si riferisce al numero di proprietà che hanno questi vettori?(appunto determinante nullo e traccia nulla)
Intende dire un numero finito di vettori linearmente indipendenti che appartengono sia a V che a W. Il punto è che proprio per il fatto di appartenere a spazi vettoriali, ognuno di questi vettori ne "genera" infiniti altri:
Esempio concreto. Prendiamo una matrice 2 x 2 con traccia nulla:
$((0,1), (0,0))$.
Questa matrice ha traccia nulla. Ha anche determinante nullo ovviamente, quindi sta nell'intersezione tra lo spazio delle matrice 2 x 2 con traccia nulla e lo spazio delle matrici 2 x 2 con determinante nullo. Per il fatto che ci sta lei, ci sta anche la matrice $n * ((0,1), (0,0)) = ((0,n),(0,0))$. Quindi ce ne stanno infinite di matrici, ma tutte essenzialmente riconducibili alla matrice presa all'inizio.
Quando Sergio dice "prendiamo n vettori ..." intende proprio dire di prendere n vettori linearmente indipendenti che stanno sia in V che in W, verificare quindi che stanno nell'intersezione, e scoprire che non ci stanno solo loro, ma tutte le possibili combinazioni lineari, che sono infinite, ma come detto sono riconducibili a questi n vettori.
Esempio. Riprendiamo la matrice di prima con traccia nulla, adesso consideriamo la matrice $((0,0),(1,0))$ anch'essa con traccia e determinante nullo.
Quindi queste due matrici stanno nell'intersezione dei due spazi vettoriali. Si dimostra che ogni altra matrice che sta in questo spazio vettoriale è combinazione lineare di queste due matrici. Allora Sergio cosa direbbe in questo esempio: "Prendiamo queste due matrici che stanno sia in V che in W, verifichiamo che ogni loro combinazione lineare sta sia in V che in W. Ma allora l'intersezione tra V e W è uno spazio vettoriale!"
Esempio concreto. Prendiamo una matrice 2 x 2 con traccia nulla:
$((0,1), (0,0))$.
Questa matrice ha traccia nulla. Ha anche determinante nullo ovviamente, quindi sta nell'intersezione tra lo spazio delle matrice 2 x 2 con traccia nulla e lo spazio delle matrici 2 x 2 con determinante nullo. Per il fatto che ci sta lei, ci sta anche la matrice $n * ((0,1), (0,0)) = ((0,n),(0,0))$. Quindi ce ne stanno infinite di matrici, ma tutte essenzialmente riconducibili alla matrice presa all'inizio.
Quando Sergio dice "prendiamo n vettori ..." intende proprio dire di prendere n vettori linearmente indipendenti che stanno sia in V che in W, verificare quindi che stanno nell'intersezione, e scoprire che non ci stanno solo loro, ma tutte le possibili combinazioni lineari, che sono infinite, ma come detto sono riconducibili a questi n vettori.
Esempio. Riprendiamo la matrice di prima con traccia nulla, adesso consideriamo la matrice $((0,0),(1,0))$ anch'essa con traccia e determinante nullo.
Quindi queste due matrici stanno nell'intersezione dei due spazi vettoriali. Si dimostra che ogni altra matrice che sta in questo spazio vettoriale è combinazione lineare di queste due matrici. Allora Sergio cosa direbbe in questo esempio: "Prendiamo queste due matrici che stanno sia in V che in W, verifichiamo che ogni loro combinazione lineare sta sia in V che in W. Ma allora l'intersezione tra V e W è uno spazio vettoriale!"
Ahhhh ok ho capito adesso!!Ti ringrazio moltissimo mi hai chiarito moltissimo le idee!! 
Se permetti però forse qua c'è solo una cosa da notare...nel caso specifico che hai detto tu forse ogni combinazione lineare di $((0,1),(0,0))$ $((0,0),(1,0))$ non apparterrebbe sia a $V$ che a $W$ perchè verrebbero fuori tutti vettori della forma $((0,k),(j,0))$ che ha traccia nulla ma determinante diverso da zero(j e k chiaramente diversi da zero)
E' giusta questa segnalazione?Poi tutto il resto l'ho capito
Se permetti però forse qua c'è solo una cosa da notare...nel caso specifico che hai detto tu forse ogni combinazione lineare di $((0,1),(0,0))$ $((0,0),(1,0))$ non apparterrebbe sia a $V$ che a $W$ perchè verrebbero fuori tutti vettori della forma $((0,k),(j,0))$ che ha traccia nulla ma determinante diverso da zero(j e k chiaramente diversi da zero)
E' giusta questa segnalazione?Poi tutto il resto l'ho capito
sì è giusta, questo è il risultato di quando scrivo le cose senza pensare... l'insieme delle matrici 2 x 2 con determinante nullo non è uno spazio vettoriale...
Non ti preoccupare il concetto è arrivato comunque chiaro! 
grazie ancora
grazie ancora
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