Intersezione sottospazi

[otakon]

Io ho due sottospazi di $ R^n $ ad esempio U e W. Se ho U espresso in forma cartesiana e W espresso attraverso un insieme di generatori come posso trovare una base della loro intersezione? Io ho pensato di estrarre le equazioni cartesiane da W, di conseguenza $ Unn W $ deve risovere le equazioni cartesiane di entrambi i sottospazi. Ora studio l'indipendenza lineare di queste equazioni e facciamo caso che quelle indipendenti siano m

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Risposte

garnak.olegovitc1

9 dic 2013, 11:54

@otakon,

"otakon":Io ho due sottospazi di $ R^n $ ad esempio U e W. Se ho U espresso in forma cartesiana e W espresso attraverso un insieme di generatori come posso trovare una base della loro intersezione? Io ho pensato di estrarre le equazioni cartesiane da W, di conseguenza $ Unn W $ deve risovere le equazioni cartesiane di entrambi i sottospazi. Ora studio l'indipendenza lineare di queste equazioni e facciamo caso che quelle indipendenti siano m

i sottospazi sono noti? Se si, potresti scriverli!

Saluti

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otakon

9 dic 2013, 11:58

Si si sono noti in realtà il problema da questo:
$ U={(x,y,z,t)in R^4 | x+y=0} $

e $ W=Span{(1,1,2,3);(1,0,-1,-1);(-2,1,1,1)} $
Quindi il procedimento mio sarebbe giusto?

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Sk_Anonymous

9 dic 2013, 21:12

Il tuo procedimento è giusto. Un procedimento alternativo potrebbe essere il seguente.
Intanto comincio con l'osservare che i 3 vettori costituenti la base di W sono l.i. e quindi
il generico vettore w di W si può porre nella forma :
(1) $w=a(1,1,2,3)+b(1,0,-1,-1)+c(-2,1,1,1)=(a+b-2c,a+c,2a-b+c,3a-b+c)$
Per determinare $U \cap W$ occorre imporre la condizione $w \in U$, ovvero che w soddisfi l'equazione $x+y=0$
Nel nostro caso deve essere :
$(a+b-2c)+(a+c)=0->2a+b-c=0$
da cui la condizione :
$c=2a+b$
e pertanto possiamo prendere a e b come variabili libere. Ponendo $a=1,b=0$ si ha : $c=2$ e sostituendo in (1) risulta:
$w_1=(-3,3,4,5)$
Ponendo $a=0,b=1$ si ha $c=1$ e sostituendo in (1) risulta:
$w_2=(-1,1,0,0)$
In conclusione possiamo dire che:
$U \cap W ==Span{w_1,w_2}=Span{(-3,3,4,5),(-1,1,0,0)}$
[Rivedi i calcoli. Hai visto mai !]

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[garnak.olegovitc1]

@otakon,

"otakon":Io ho due sottospazi di $ R^n $ ad esempio U e W. Se ho U espresso in forma cartesiana e W espresso attraverso un insieme di generatori come posso trovare una base della loro intersezione? Io ho pensato di estrarre le equazioni cartesiane da W, di conseguenza $ Unn W $ deve risovere le equazioni cartesiane di entrambi i sottospazi. Ora studio l'indipendenza lineare di queste equazioni e facciamo caso che quelle indipendenti siano m

i sottospazi sono noti? Se si, potresti scriverli!

Saluti

[otakon]

Si si sono noti in realtà il problema da questo:
$ U={(x,y,z,t)in R^4 | x+y=0} $

e $ W=Span{(1,1,2,3);(1,0,-1,-1);(-2,1,1,1)} $
Quindi il procedimento mio sarebbe giusto?

[Sk_Anonymous]

Il tuo procedimento è giusto. Un procedimento alternativo potrebbe essere il seguente.
Intanto comincio con l'osservare che i 3 vettori costituenti la base di W sono l.i. e quindi
il generico vettore w di W si può porre nella forma :
(1) $w=a(1,1,2,3)+b(1,0,-1,-1)+c(-2,1,1,1)=(a+b-2c,a+c,2a-b+c,3a-b+c)$
Per determinare $U \cap W$ occorre imporre la condizione $w \in U$, ovvero che w soddisfi l'equazione $x+y=0$
Nel nostro caso deve essere :
$(a+b-2c)+(a+c)=0->2a+b-c=0$
da cui la condizione :
$c=2a+b$
e pertanto possiamo prendere a e b come variabili libere. Ponendo $a=1,b=0$ si ha : $c=2$ e sostituendo in (1) risulta:
$w_1=(-3,3,4,5)$
Ponendo $a=0,b=1$ si ha $c=1$ e sostituendo in (1) risulta:
$w_2=(-1,1,0,0)$
In conclusione possiamo dire che:
$U \cap W ==Span{w_1,w_2}=Span{(-3,3,4,5),(-1,1,0,0)}$
[Rivedi i calcoli. Hai visto mai !]