Intersezione sfera- piano
Nello spazio $R^3$, sia data la sfera S: $x^2 + y^2 +z^2 + 3x -4y=0$ ed il piano $\pi$ : $x+2y+2z=0$
Calcolare il centro e il raggio della circonferenza C=S$nn pi$
Avevo pensato a due modi di procedere, nel primo faccio l'intersezione fra sfera e piano, ottenendo così: $5x^2+8y^2+4xy+12x-16y=0$ Da qui pensavo di proseguire tentando di ridurre il tutto a forma canonica, come si fa solitamente con le iperquadriche, ma ottengo il polinomio caratteristico: $t^2-13t+36$. Arrivato a questo penso proprio di aver sbagliato qualcosa, in quanto non mi vengono valori usuali di t e calcolarsi gli autospazi sarebbe un po' rognoso.
Il secondo modo consisteva nel trovare il raggio e il centro della sfera, ottengo così R=$5/2$ e C=$(-3/2,2,0)$, poi, utilizzando la formula della distanza punto-iperpiano, mi son trovato la distanza dal centro della sfera al centro della circonferenza d=$sqrt(5)/2$. A questo punto posso calcolarmi il raggio della circonferenza usando pitagora e ottenendo: $sqrt(15/2)$. Dopodiché avevo pensato ai vettori direzionali, di farmi la retta passante per C e ortogonale al piano, dopodiché di fare l'intersezione e ottenere il centro della circonferenza, ma con il centro ottenuto, non mi ritornano i conti!(la distanza). Cosa ho sbagliato? Come dovrei procedere? Grazie a chiunque risponda
Calcolare il centro e il raggio della circonferenza C=S$nn pi$
Avevo pensato a due modi di procedere, nel primo faccio l'intersezione fra sfera e piano, ottenendo così: $5x^2+8y^2+4xy+12x-16y=0$ Da qui pensavo di proseguire tentando di ridurre il tutto a forma canonica, come si fa solitamente con le iperquadriche, ma ottengo il polinomio caratteristico: $t^2-13t+36$. Arrivato a questo penso proprio di aver sbagliato qualcosa, in quanto non mi vengono valori usuali di t e calcolarsi gli autospazi sarebbe un po' rognoso.
Il secondo modo consisteva nel trovare il raggio e il centro della sfera, ottengo così R=$5/2$ e C=$(-3/2,2,0)$, poi, utilizzando la formula della distanza punto-iperpiano, mi son trovato la distanza dal centro della sfera al centro della circonferenza d=$sqrt(5)/2$. A questo punto posso calcolarmi il raggio della circonferenza usando pitagora e ottenendo: $sqrt(15/2)$. Dopodiché avevo pensato ai vettori direzionali, di farmi la retta passante per C e ortogonale al piano, dopodiché di fare l'intersezione e ottenere il centro della circonferenza, ma con il centro ottenuto, non mi ritornano i conti!(la distanza). Cosa ho sbagliato? Come dovrei procedere? Grazie a chiunque risponda
Risposte
guarda che và bene come metodo... per i calcoli boh a me il raggio viene la radice di 50/9 ma non ho ricontrollato...ho fatto il tuo stesso metodo,si cmq va benissimo hai solo sbagliato i calcoli...
Completando i quadrati, ottieni la seguente equazione di $ S $:
$ S : (x+\frac{3}{2})^2+(y-2)^2+z^2 = \frac{25}{4} $
ed è allora evidente che $ C_S $ e $ r_S $ (centro e raggio di $ S $) sono quelli da te indicati.
Il centro $ C_{\Gamma} $ della circonferenza $ \Gamma = S \cap \pi $ è la proiezione ortogonale di $ C_S $ su $ \pi $, ossia $ C_{\Gamma} = r \cap \pi $, dove $ r $ è la retta per $ C_S $ ortogonale a $ \pi $.
Una volta trovato $ C_{\Gamma} $, il raggio $ r_{\Gamma} $ si calcola tramite il Teorema di Pitagora (come da te specificato):
$ r_{\Gamma}^2 = r_S^2-d(C_S, C_{\Gamma})^2 $
$ S : (x+\frac{3}{2})^2+(y-2)^2+z^2 = \frac{25}{4} $
ed è allora evidente che $ C_S $ e $ r_S $ (centro e raggio di $ S $) sono quelli da te indicati.
Il centro $ C_{\Gamma} $ della circonferenza $ \Gamma = S \cap \pi $ è la proiezione ortogonale di $ C_S $ su $ \pi $, ossia $ C_{\Gamma} = r \cap \pi $, dove $ r $ è la retta per $ C_S $ ortogonale a $ \pi $.
Una volta trovato $ C_{\Gamma} $, il raggio $ r_{\Gamma} $ si calcola tramite il Teorema di Pitagora (come da te specificato):
$ r_{\Gamma}^2 = r_S^2-d(C_S, C_{\Gamma})^2 $
Gentilissimi;) grazie mille per l'aiuto!
Anche a me viene $ R_{\Gamma} = \sqrt{\frac{50}{9}} \approx 2,357 $.
Il risultato è sensato, dato che è di poco minore del raggio della sfera ($ R_S = 2,5 $).
Il risultato è sensato, dato che è di poco minore del raggio della sfera ($ R_S = 2,5 $).
sisi, avevo sbagliato un contoXD ultimo favore, la retta ortogonale che vi viene qual'è?
$2x-y=-5$ a sistema con $z-y=-2$
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