Intersezione sfera e cilindro

[alessiobbb1]

Ciao, potete darmi una mano con questo esercizio che non riesco a fare?

Si consideri la curva $ gamma(t): (0, 2pi]-> RR^3 $ definita da $ gamma(t)=(cos^2t-1/2, sintcost, sint) $.
Ho già verificato che è una curva regolare.
Quello che non so fare è verificare che tale curva è la curva che si ottiene dall'intersezione del cilindro circolare C di raggio $1/2$ e asse di simmetria l'asse z con la sfera S di raggio $1$ e centro $(-1/2, 0, 0)$.

Posso scrivere l'equazione della sfera S, cioè $x^2-x+y^2+z^2=3/4$
e quella del cilindro C, cioè $x^2+y^2=1/4$

Dovrei parametrizzare il cilindro e la sfera?
O risolvere il sistema?

[apatriarca]

SUGGERIMENTO 1: Osserva che \(\cos^2(t) - 1/2 = \cos(2t)/2\) e \(\sin(t)\cos(t) = \sin(2t)/2\). La proiezione sul piano \(XY\) della tua curva è quindi uguale a due rotazioni lungo la circonferenza di raggio \(1/2\) centrata nell'origine. La curva è quindi contenuta nel cilindro..

[Bokonon]

"alessiobbb":
Posso scrivere l'equazione della sfera S, cioè $x^2-x+y^2+z^2=3/4$
e quella del cilindro C, cioè $x^2+y^2=1/4$

Dovrei parametrizzare il cilindro e la sfera?
O risolvere il sistema?

Entrambe le cose.
L'equazione della sfera però è $(x-(-1/2))^2+y^2+z^2=1$ da cui $x^2+y^2+z^2+x=3/4$
Intersecando col cilindro ottieni:
$x=1/2-z^2$ e $y=sqrt(1/4-x^2)$
Ponendo $z=sin(t)$ troverai il resto