Intersezione fra sottospazi
Salve a tutti, ho tre sottospazi S, $S^(_|_)$ e W, devo determinare (S$\cap$W)+($S^(_|_)$$\cap$W),
S=<(1,0,1,0)(0,1,0,1)>
$S^(_|_)$=<(1,0,-3/2,0)(0,1,0,-1)>
W=<(1,1,1,0)(2,-1,2,-1)>
per trovare S$\cap$W ho fatto così: $X(1,0,1,0)+ Y(0,1,0,1)=Z(1,1,1,0)+ K(2,-1,2,-1)$ poi ho messo a sistema e mi risulta X=2K, Y=-K, Z=0.
Ora, il risultato quale è? S$\cap$W=$<(2,-1,0,1)>$ oppure S$\cap$W=$<(2,0,2,0)(0,-1,0,-1)(2,-1,2,-1)>$??
Poi ho fatto la stessa cosa per trovare le X Y Z K dell'altra intersezione, e mi viene $X=0, Y=0, Z=0 K=0$, quindi deduco che non abbiamo elementi in comune.
S=<(1,0,1,0)(0,1,0,1)>
$S^(_|_)$=<(1,0,-3/2,0)(0,1,0,-1)>
W=<(1,1,1,0)(2,-1,2,-1)>
per trovare S$\cap$W ho fatto così: $X(1,0,1,0)+ Y(0,1,0,1)=Z(1,1,1,0)+ K(2,-1,2,-1)$ poi ho messo a sistema e mi risulta X=2K, Y=-K, Z=0.
Ora, il risultato quale è? S$\cap$W=$<(2,-1,0,1)>$ oppure S$\cap$W=$<(2,0,2,0)(0,-1,0,-1)(2,-1,2,-1)>$??
Poi ho fatto la stessa cosa per trovare le X Y Z K dell'altra intersezione, e mi viene $X=0, Y=0, Z=0 K=0$, quindi deduco che non abbiamo elementi in comune.
Risposte
Ce la fai a scrivere in modo più comprensibile?
Tra l'altro $S^(_|_)$ non mi sembra sia quel sottospazio
Tra l'altro $S^(_|_)$ non mi sembra sia quel sottospazio
Ciao maci, scusa, ho corretto le formule, ero convinto fossero giuste.
Per quanto riguarda $S^(_|_)$ dovrebbe essere giusto. Il prodotto scalare è $\varphi(v,w)=2aa' + bb' + cc'+ dd' + ac' + ca'$
Per definizione $S={(x1,x2,x1,x2)}$, ho trovato la base $(1,0,1,0)(0,1,0,1)$; poi ho trovato $S^(_|_)$ ponendo i prodotti scalari =0 tra i vettori della base e uno generico di R4, prima con il primo vettore della base poi con l'altro e ho ottenuto $S^(_|_)$={(a,b,c,d,): c=-3/2a, d=-b)} quindi $(a,b,-3/2a,-b)$ da cui $<(1,0,-3/2,0)(0,1,0,-1)>$. Spero sia giusto.
Per quanto riguarda l'intersezione fra S e W, una volta trovato i valori di X, Y, Z e K, l'intersezione da cosa è data? dal vettore (X,Y,Z,K)?
Per quanto riguarda $S^(_|_)$ dovrebbe essere giusto. Il prodotto scalare è $\varphi(v,w)=2aa' + bb' + cc'+ dd' + ac' + ca'$
Per definizione $S={(x1,x2,x1,x2)}$, ho trovato la base $(1,0,1,0)(0,1,0,1)$; poi ho trovato $S^(_|_)$ ponendo i prodotti scalari =0 tra i vettori della base e uno generico di R4, prima con il primo vettore della base poi con l'altro e ho ottenuto $S^(_|_)$={(a,b,c,d,): c=-3/2a, d=-b)} quindi $(a,b,-3/2a,-b)$ da cui $<(1,0,-3/2,0)(0,1,0,-1)>$. Spero sia giusto.
Per quanto riguarda l'intersezione fra S e W, una volta trovato i valori di X, Y, Z e K, l'intersezione da cosa è data? dal vettore (X,Y,Z,K)?
Quel prodotto scalare quindi non è quello naturale su R, giusto? Mi sembra sia associato a questa forma:
$((2,0,1,0)(0,1,0,0),(1,0,1,0),(0,0,0,1))$
Se non me lo dici però come faccio a saperlo
I vettori ortogonali, troviamoli tutti assieme che son pigro:
$((1,0,1,0),(0,1,0,1))((2,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,1,0),(0,0,0,1)) ((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=((3,0,2,0),(0,1,0,1))((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=((3x_1+2x_3),(x_2+x_4))$
Questo vettore è nullo solo quando si annullano entrambe, troviamo i due vettori:
$<((2),(0),(-3),(0)),((0),(1),(0),(-1))>$
Si è giusto
Quando trovi le combinazioni lineari che ti danno il (i) vettori in comune non ti resta che prendere quelle di un singolo sottospazio e trovare il vettore:
$K=1=>X=2,Y=-1$
Ora per mostrarti che sono uguali li trovo tutti e due:
$X((1),(0),(1),(0))+ Y((0),(1),(0),(1))=Z((1),(1),(1),(0))+ K((2),(-1),(2),(-1))=>$
$=> 2((1),(0),(1),(0))+ -1((0),(1),(0),(1))=0((1),(1),(1),(0))+ 1((2),(-1),(2),(-1))=>((2),(-1),(2),(-1))=((2),(-1),(2),(-1))$
Il vettore in comune è quindi:
$((2),(-1),(2),(-1))$
Vediamo anche per l'ortogonale
$X((2),(0),(-3),(0))+Y((0),(1),(0),(-1))=Z((1),(1),(1),(0))+ K((2),(-1),(2),(-1))=>Y=K, Z=2K,X=2K,K=0$
Essendo tutti pari a zero, significa che l'intersezione ha il solo vettore nullo.
$((2,0,1,0)(0,1,0,0),(1,0,1,0),(0,0,0,1))$
Se non me lo dici però come faccio a saperlo
I vettori ortogonali, troviamoli tutti assieme che son pigro:
$((1,0,1,0),(0,1,0,1))((2,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,1,0),(0,0,0,1)) ((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=((3,0,2,0),(0,1,0,1))((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=((3x_1+2x_3),(x_2+x_4))$
Questo vettore è nullo solo quando si annullano entrambe, troviamo i due vettori:
$<((2),(0),(-3),(0)),((0),(1),(0),(-1))>$
Si è giusto
Quando trovi le combinazioni lineari che ti danno il (i) vettori in comune non ti resta che prendere quelle di un singolo sottospazio e trovare il vettore:
$K=1=>X=2,Y=-1$
Ora per mostrarti che sono uguali li trovo tutti e due:
$X((1),(0),(1),(0))+ Y((0),(1),(0),(1))=Z((1),(1),(1),(0))+ K((2),(-1),(2),(-1))=>$
$=> 2((1),(0),(1),(0))+ -1((0),(1),(0),(1))=0((1),(1),(1),(0))+ 1((2),(-1),(2),(-1))=>((2),(-1),(2),(-1))=((2),(-1),(2),(-1))$
Il vettore in comune è quindi:
$((2),(-1),(2),(-1))$
Vediamo anche per l'ortogonale
$X((2),(0),(-3),(0))+Y((0),(1),(0),(-1))=Z((1),(1),(1),(0))+ K((2),(-1),(2),(-1))=>Y=K, Z=2K,X=2K,K=0$
Essendo tutti pari a zero, significa che l'intersezione ha il solo vettore nullo.
Ok grazie mille! Sei il migliore! 
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