Intersezione e somma tra due sottospazi
Ragà, vorrei alcuni chiarimenti:
Si considerino i seguenti due sottospazi di $QQ^4$:
$H={(x,y,z,t): x-y=0,t=0};$
$K=L{(1,0,1,0),(2,2,1,4),(1,1,0,2)}.$
a. Si calcolino una base e la dimensione di K;
b. Si determini una base di H+K e la dimensione di $HnnK$
Ora io ho ragionato così:
H si può anche scrivere H={(x,x,z,0)}.
I vettori che compongono K sono dei generatori e sono linearmente indipendenti, quindi $B={(1,0,1,0),(2,2,1,4),(1,1,0,2)}$ e dunque la dimensione di K è 3.
Ora non mi è chiaro come calcolare H+K. Sarebbe $H+K={(1+x,x,z,0),(2+x,2+x,1+z,4),(1+x,1+x,z,2)}$? E poi come calcolo la base? E inoltre $HnnK=0$ all'insieme vuoto?
Si considerino i seguenti due sottospazi di $QQ^4$:
$H={(x,y,z,t): x-y=0,t=0};$
$K=L{(1,0,1,0),(2,2,1,4),(1,1,0,2)}.$
a. Si calcolino una base e la dimensione di K;
b. Si determini una base di H+K e la dimensione di $HnnK$
Ora io ho ragionato così:
H si può anche scrivere H={(x,x,z,0)}.
I vettori che compongono K sono dei generatori e sono linearmente indipendenti, quindi $B={(1,0,1,0),(2,2,1,4),(1,1,0,2)}$ e dunque la dimensione di K è 3.
Ora non mi è chiaro come calcolare H+K. Sarebbe $H+K={(1+x,x,z,0),(2+x,2+x,1+z,4),(1+x,1+x,z,2)}$? E poi come calcolo la base? E inoltre $HnnK=0$ all'insieme vuoto?
Risposte
Dal fatto che $H={(x,x,z,0): x,z in RR}$ possiamo dire sicuramente che $dimH=3$ e che una base per H è del tipo
$(1,1,0,0),(0,0,1,0)$.
Per quanto riguarda $H \cap K$, lo puoi tranquillamente studiare mettendo a sistema le equazioni di H e di K, mentre per l'unione fai utilizza la formula di Grassmann per capire la dimensione.
$(1,1,0,0),(0,0,1,0)$.
Per quanto riguarda $H \cap K$, lo puoi tranquillamente studiare mettendo a sistema le equazioni di H e di K, mentre per l'unione fai utilizza la formula di Grassmann per capire la dimensione.
Scusami se una base di H è (1,1,0,0),(0,0,1,0) la dimensione non è 2?
dimensione := cardinalita' di una (qualunque) base, tanto sono tutte equipotenti (probabilmente Lorin voleva scrivere $2$, ma ha battuto $3$...).
Hai scritto bene \(H=L\{(x,x,z,0)\mid x,z\in \mathbb R\}\) (sai dire che dimensione ha $H$ da qui?), ma $(x,x,z,0)=...=x(1,1,0,0)+z(0,0,1,0)$...non ne concludi quindi che e' anche $H=L\{v_4,v_5\}$? e che quindi $H+K=L{(1,0,1,0),(2,2,1,4),(1,1,0,2),v_4,v_5}$? Ora, cosi' avresti trovato un sistema di generatori per $H+K$, e dovresti aver trovato $5$ generatori in $RR^4$...un po' troppi...puoi, e come, eliminare i generatori superflui? Per caso $v_4\in L\{v_1,v_2,v_3\}$? o magari e' $v_5\in L\{v_1,v_2,v_3\}$?...se "scarti" con criterio a partire da $v_1,v_2,v_3,v_4,v_5$ trovi una base di $H+K$?
Per l'intersezione: $H$ e' dato in cartesiane e $K$ in parametriche...che ne dici di vedere quali vettori in parametriche soddisfano le equazioni cartesiane? Cioe': il generico elemento di $K$ si scrive come $av_1+bv_2+cv_3=(a+2b+c,2b+c,...,...)$ (equazioni "parametriche", i "parametri" son $a,b,c$ che variano liberamente in tutto $\RR$), quali vettori fra questi soddisfano le condizioni richieste per stare in $H$ (equazioni "cartesiane")? erano due condizioni:
(1) "prima coordinata"="seconda coordinata" e (2) "ultima coordinata"=0.....trovi delle relazioni fra $a,b,c$? ti aiutano?
Hai scritto bene \(H=L\{(x,x,z,0)\mid x,z\in \mathbb R\}\) (sai dire che dimensione ha $H$ da qui?), ma $(x,x,z,0)=...=x(1,1,0,0)+z(0,0,1,0)$...non ne concludi quindi che e' anche $H=L\{v_4,v_5\}$? e che quindi $H+K=L{(1,0,1,0),(2,2,1,4),(1,1,0,2),v_4,v_5}$? Ora, cosi' avresti trovato un sistema di generatori per $H+K$, e dovresti aver trovato $5$ generatori in $RR^4$...un po' troppi...puoi, e come, eliminare i generatori superflui? Per caso $v_4\in L\{v_1,v_2,v_3\}$? o magari e' $v_5\in L\{v_1,v_2,v_3\}$?...se "scarti" con criterio a partire da $v_1,v_2,v_3,v_4,v_5$ trovi una base di $H+K$?
Per l'intersezione: $H$ e' dato in cartesiane e $K$ in parametriche...che ne dici di vedere quali vettori in parametriche soddisfano le equazioni cartesiane? Cioe': il generico elemento di $K$ si scrive come $av_1+bv_2+cv_3=(a+2b+c,2b+c,...,...)$ (equazioni "parametriche", i "parametri" son $a,b,c$ che variano liberamente in tutto $\RR$), quali vettori fra questi soddisfano le condizioni richieste per stare in $H$ (equazioni "cartesiane")? erano due condizioni:
(1) "prima coordinata"="seconda coordinata" e (2) "ultima coordinata"=0.....trovi delle relazioni fra $a,b,c$? ti aiutano?
Si si ho battuto male...pardon!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo