Intersezione e somma di spazi vettoriali

[GenKs1]

Solito esercizio, mi viene dato un endomorfismo e dopo aver trovato dimensioni e basi di Ker(f) e Im(f), devo ricercare, basi e dimensione di:

Im(f)+U
Im(f) (intersezione) U

dove $U = {(x,y,z,t) in R^4 : 5x +2y +z +3t = 0}$
ed $Im(f) = L((0,2,0,0);(1,0,1,0);(-2,0,2,2))$

Giusto per informazione, l'endomorfismo è il seguente:
$f(x,y,z,t) = (x+z-2t,2y,x+z+2t.2t)$

Fin quando devo trovare la dimensione e la base della somma dei due sottospazi vettoriali di R^4, non c'è problema. Costruisco la matrice con i 6 vettori delle due basi, trovo il rango(RHO), e prendo RHO vettori indipendenti che generano la somma di spazi.

La somma, mi viene:
$B_(Im(f)+U) = L((0,1,-2,0);(0,0,-3,1);(0,2,0,0);(1,0,1,0))$

Il problema sorge quando devo trovare l'intersezione... per la dimensione utilizzo la formula di Grassman, ma come devo proseguire per trovare la base? Ho provato a prendere un generico vettore di Im(f) e sostituire la quadrupla nell'equazione... ma... non viene... illuminatemi!

[ciampax]

Se i vettori stanno nell'intersezione, devono essere sia della forma

$(a,b,-5a-2b-3c,c)$ (perché appartenenti ad $U$)

sia della forma

$(x+z-2t,2y,x+z+2t,2t)$ (perché nell'immagine di $f$).

Se uguagli, ottieni un sistema di equazioni.

[GenKs1]

Da risolvere rispetto ad (x,y,z,t) con (a,b,c) "costanti"?