Intersezione e Somma di sottospazi vettoriali
Buonasera,
sono nuova e spero di aver rispettato tutte le regole, se così non fosse chiedo scusa.
Ho letto veramente tante discussioni e appunti riguardanti l'intersezione di sottospazi vettoriali ma non riesco ancora a capire alcune cose.
Ad esempio, se dati i sottospazi: $U={(x,y,0), x,y ∈ R}$ e $V={(x,x,x), x ∈ R}$ devo determinare
(1) se sono sottospazi di $R^3$
(2)$U+V$
(3) $U \cap V$ (e stabilire se quest'ultima sia un sottospazio).
(1) l'ho risolta dimostrando che $(0,0,0)∈$ sia a $V$ che a $U$ e che entrambi sono chiusi rispetto a somma e prodotto per scalare. E fin qui ok, credo.
(3)L'intersezione dei due sottospazi dovrebbe essere da definizione un sottospazio, o mi sbaglio?
Nel caso specifico l'intersezione dei due sottospazi dovrebbe essere $(x,y,0)$, giusto?
(2)La somma proprio non l'ho ancora capita.
Qualcuno sa aiutarmi? Grazie mille..
sono nuova e spero di aver rispettato tutte le regole, se così non fosse chiedo scusa.
Ho letto veramente tante discussioni e appunti riguardanti l'intersezione di sottospazi vettoriali ma non riesco ancora a capire alcune cose.
Ad esempio, se dati i sottospazi: $U={(x,y,0), x,y ∈ R}$ e $V={(x,x,x), x ∈ R}$ devo determinare
(1) se sono sottospazi di $R^3$
(2)$U+V$
(3) $U \cap V$ (e stabilire se quest'ultima sia un sottospazio).
(1) l'ho risolta dimostrando che $(0,0,0)∈$ sia a $V$ che a $U$ e che entrambi sono chiusi rispetto a somma e prodotto per scalare. E fin qui ok, credo.
(3)L'intersezione dei due sottospazi dovrebbe essere da definizione un sottospazio, o mi sbaglio?
Nel caso specifico l'intersezione dei due sottospazi dovrebbe essere $(x,y,0)$, giusto?
(2)La somma proprio non l'ho ancora capita.
Qualcuno sa aiutarmi? Grazie mille..
Risposte
$U={(x,y,0), x,y ∈ R}$ si può scrivere banalmente come $x(1,0,0) + y(0,1,0)$
$V={(x,x,x), x ∈ R}$ si può scrivere come $x(1,1,1)$
Per stabilire se sono sottospazi di $R^3$, il primo mi pare evidente da come è stato scritto; il secondo è una combinazione di $e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1) $ , che sono le basi canoniche di $R^3$
Per quanto riguarda $U+W$ , essa è $R^3$, infatti il determinante della matrice che ha per righe ( o colonne ) i vettori $(1,0,0) , (0,1,0) , (1,1,1)$ ha determinante non nullo (i vettori sono indipendenti, quindi formano una base di $R^3$ )
Per quanto riguarda l'intersezione, c'è una formula abbastanza importante (Formula di Grassmann), che dice che
$dim(U+V) = dimU + dimV - dim(U⋂V) $
Nel nostro caso, $dimU=2$ (infatti 1,0,0 e 0,1,0 sono linearmente indipendenti), e $dimV=1$ (ovviamente, essendo V generato da "un solo" vettore). $dim(U+V) = R^3$ , come appena visto, quindi:
$dim(U⋂V) = dimU + dimV - dim(U+V) = 0 $
[nota]Non prendere quello che dico per oro colato, in questo sito c'è gente che sicuramente sa più cose di me. Io ti parlo per quel poco che so dal tuo stesso corso, saluti
[/nota]
$V={(x,x,x), x ∈ R}$ si può scrivere come $x(1,1,1)$
Per stabilire se sono sottospazi di $R^3$, il primo mi pare evidente da come è stato scritto; il secondo è una combinazione di $e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1) $ , che sono le basi canoniche di $R^3$
Per quanto riguarda $U+W$ , essa è $R^3$, infatti il determinante della matrice che ha per righe ( o colonne ) i vettori $(1,0,0) , (0,1,0) , (1,1,1)$ ha determinante non nullo (i vettori sono indipendenti, quindi formano una base di $R^3$ )
Per quanto riguarda l'intersezione, c'è una formula abbastanza importante (Formula di Grassmann), che dice che
$dim(U+V) = dimU + dimV - dim(U⋂V) $
Nel nostro caso, $dimU=2$ (infatti 1,0,0 e 0,1,0 sono linearmente indipendenti), e $dimV=1$ (ovviamente, essendo V generato da "un solo" vettore). $dim(U+V) = R^3$ , come appena visto, quindi:
$dim(U⋂V) = dimU + dimV - dim(U+V) = 0 $
[nota]Non prendere quello che dico per oro colato, in questo sito c'è gente che sicuramente sa più cose di me. Io ti parlo per quel poco che so dal tuo stesso corso, saluti
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Grazie Profeta, alcune cose sono già un po' più chiare!
Ho capito come trovare la dimensione, ma se mi viene chiesto di scrivere quali sono l'intersezione e la somma tra i due proprio non riesco a capire cosa devo fare, mi sento un po' scema
Ho capito come trovare la dimensione, ma se mi viene chiesto di scrivere quali sono l'intersezione e la somma tra i due proprio non riesco a capire cosa devo fare, mi sento un po' scema
"Gilfoyle":
Grazie Profeta, alcune cose sono già un po' più chiare!
Ho capito come trovare la dimensione, ma se mi viene chiesto di scrivere quali sono l'intersezione e la somma tra i due proprio non riesco a capire cosa devo fare, mi sento un po' scema
Prima cosa, hai le soluzioni per confermare che la mia risposta sia corretta?
Comunque per la somma, consideriamo il tuo esempio: hai un sottospazio $U=<(1,0,0),(0,1,0)>$ (per i motivi di prima...) e un sottospazio $W=<(1,1,1)>$.
U+W, in questo caso, è banalmente il sottospazio $U+W=<(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)>$
Per trovare l'intersezione...
in generale, un vettore $A∈B$ (definendo B come spazio o sottospazio, e A vettore di un altro spazio o sottospazio) se è possibile determinare A come combinazione lineare di vettori di B.
Vediamo un esempio:
nel tuo caso hai $U=<(1,0,0),(0,1,0)>$ , $W=<(1,1,1)>$. Chiamiamo $A=(1,1,1)$. $A∈U$ se è possibile scrivere A come combinazione di elementi di U, quindi in generale se:
$a(1,0,0) +b(0,1,0) = (1,1,1)$
ovvero
$(a,0,0) + (0,b,0) = (1,1,1) $
che è chiaramente impossibile, considerando che si ottiene il sistema lineare:
$ a=1; b=1; 0=1 $
Quindi, considerando che il vettore $A=(1,1,1)$ non è calcolabile come combinazione lineare di $(1,0,0)$ e $(0,1,0)$, sicuramente $A∉U$ , e quindi $U⋂W = {0}$
Purtroppo non ho le soluzioni, al corso sono state fornite solo dispense (senza esempi in questo caso) e pagine di esercizi ma con solo i testi.
Quindi, se ho capito bene, per la somma è sufficiente considerare i vettori linearmente indipendenti dei due sottospazi (detto in parole povere).
Se avessi avuto $U=(x,y,0)$ e quindi $U=(1,0,0)(0,1,0)$ e $W=(x,0,z)$ che corrisponde a $W=(1,0,0)(0,0,1)$ allora la somma dei sottospazi sarebbe stata $(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)$ che è tra l'altro la base canonica di $R^3$. Corretto?
Per quanto riguarda l'intersezione invece ho ancora qualche dubbio.
Vediamo se almeno in parole povere ho capito, l'intersezione tra due sottospazi vettoriali sarebbe un vettore in grado di generare i vettori di entrambi i sottospazi?
Quindi, se ho capito bene, per la somma è sufficiente considerare i vettori linearmente indipendenti dei due sottospazi (detto in parole povere).
Se avessi avuto $U=(x,y,0)$ e quindi $U=(1,0,0)(0,1,0)$ e $W=(x,0,z)$ che corrisponde a $W=(1,0,0)(0,0,1)$ allora la somma dei sottospazi sarebbe stata $(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)$ che è tra l'altro la base canonica di $R^3$. Corretto?
Per quanto riguarda l'intersezione invece ho ancora qualche dubbio.
Vediamo se almeno in parole povere ho capito, l'intersezione tra due sottospazi vettoriali sarebbe un vettore in grado di generare i vettori di entrambi i sottospazi?
"Gilfoyle":
Purtroppo non ho le soluzioni, al corso sono state fornite solo dispense (senza esempi in questo caso) e pagine di esercizi ma con solo i testi.
Quindi, se ho capito bene, per la somma è sufficiente considerare i vettori linearmente indipendenti dei due sottospazi (detto in parole povere).
Se avessi avuto $U=(x,y,0)$ e quindi $U=(1,0,0)(0,1,0)$ e $W=(x,0,z)$ che corrisponde a $W=(1,0,0)(0,0,1)$ allora la somma dei sottospazi sarebbe stata $(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)$ che è tra l'altro la base canonica di $R^3$. Corretto?
Per quanto riguarda l'intersezione invece ho ancora qualche dubbio.
Vediamo se almeno in parole povere ho capito, l'intersezione tra due sottospazi vettoriali sarebbe un vettore in grado di generare i vettori di entrambi i sottospazi?
Per la somma, diciamo che concettualmente ci può stare
Per l'intersezione credo che ci sia un equivoco di fondo: l'intersezione infatti è un operatore che ti permette di calcolare i vettori comuni ai due sottospazi, ovvero, ti permette di trovare il vettore (o i vettori, più frequentemente), che appartengono a entrambi i sottospazi U,W.
Quello che ti ho proposto io è solo un modo abbastanza comodo per calcolare se un vettore di un sottospazio può essere espresso come combinazione lineare di elementi di un'altro sottospazio, quindi per verificare se quel determinato vettore di U appartiene anche a W.
Inizio a vederci un po' più chiaro, grazie!
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