Intersezione e somma di sottospazi di matrici di taglia diversa

LogicalCake
Ciao a tutti, avrei bisogno una mano con questo esercizio:

Calcolare \(\displaystyle U \cap V \) e \(\displaystyle U+V \):

(i) \(\displaystyle U = \left\{A \in \mathbb{R}^{2,2}: \mathbf{u}A = 0 , \mathbf{u} = (1,1)\right\} \) e \(\displaystyle V = \left\{A \in \mathbb{R}^{3,2}: A\mathbf{v}=0, \mathbf{v}^t = (1,1)\right\} \)

(ii) \(\displaystyle U = \left\{A \in \mathbb{R}^{2,2}: \mathbf{u}A = 0 , \mathbf{u} = (2,1)\right\} \) e \(\displaystyle V = \left\{A \in \mathbb{R}^{3,2}: A\mathbf{v}=0, \mathbf{v}^t = (1,1)\right\} \)

Ma mi sorge spontanea una domanda... Non posso nè sommare nè intersecare spazi di matrici di dimensione diversa o mi sto sbagliando? La somma tra matrici è definita solo tra matrici di taglia uguale, per questo motivo non posso combinare linearmente gli elementi di questi due sottospazi, oppure sto dicendo una enorme stupidaggine come al mio solito? Attendo un vostro riscontro, come al solito vi ringrazio in anticipo, mi state aiutando moltissimo!

Risposte
megas_archon
La somma e l'intersezione di sottospazi può avvenire tra qualsiasi due sottospazi, di qualsiasi dimensione.

LogicalCake
Ciao, grazie della risposta ma potresti aiutarmi a capire come si fa in questo caso?

\(\displaystyle U + V = \mathcal{L}\left\{\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\-1&1\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\-1&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0\\-2&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\0&-2\end{pmatrix}\right\} \)

Provando a fare la somma degli spazi mi esce questa cosa, ma che significato ha? Se io non posso sommare matrici di taglia diversa... Non capisco proprio, è vuoto questo insieme?

Per quanto riguarda l'intersezione pure mi viede da pensare che sia vuota... Poiché le matrici non possono avere contemporaneamente 6 e 4 entrate scusami... Non so se sto dicendo cavolate ma non mi pare possibile...

megas_archon
Ah, questo intendi; da dove hai preso l'esercizio? La domanda posta così non ha molto senso secondo me, proprio perché stai cercando di intersecare un sottospazio $A$ di $V$ con un sottospazio $B$ di $W$, dove $V$ e $W$ sono spazi diversi...

LogicalCake
"megas_archon":
Ah, questo intendi; da dove hai preso l'esercizio? La domanda posta così non ha molto senso secondo me, proprio perché stai cercando di intersecare un sottospazio $A$ di $V$ con un sottospazio $B$ di $W$, dove $V$ e $W$ sono spazi diversi...


Esatto mi sembra molto strano questo esercizio... L'ho preso dal materiale fornito dal mio prof di algebra, anche se, noto che ci sono abbastanza errori di battitura... Credo che anche questo sia il caso. Quindi mi confermi che non si può fare esatto? Non sono fuori di senno hahahaha

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