Intersezione e inclusione sottospazi affini paralleli

[rdd95]

Ciao ragazzi,avrei un dubbio.
Due sottospazi affini di dimensione uguale se hanno la stesssa direzione sono paralleli,giusto?
Ma la dimensione a questo punto sarebbe rappresentata dall'insieme vuoto oppure dal numero di vettori della direzione?
Ad esempio ho
\(\displaystyle S = P + L( A,B,C) \)
\(\displaystyle T= R+L( A,B,C) \)

Dove (A,B,C) rappresenta la direzione di S e T.
A questo punto ho due sottospazi paralleli. Ma la dimensione dell'intersezione è l'insieme vuoto oppure è uguale a 3?

Inoltre \(\displaystyle S\subseteq T \)?
E \(\displaystyle T \subseteq S \)?

[isaac888]

"ddr1995":Due sottospazi affini di dimensione uguale se hanno la stesssa direzione sono paralleli,giusto?

Intanto in generale non si può parlare di "direzione" per un sottospazio di dimensione arbitraria (ma si parla di giacitura, che in un certo senso è un concetto di direzione più generale). Funziona solo se si sta parlando di rette ed, al più, di direzione "normale" quando si parla di iperpiani.
In questi due casi da me indicati avresti ragione.

In altri casi (in generale) dovresti verificare che la giacitura di uno dei due sia contenuta nella giacitura dell'altro. Se ciò accade i due sottospazi sono paralleli.

Per quanto riguarda le dimensioni, ricorda che Grassman, mutandis mutandi, vale anche per i sottospazi affini.

Nell'affine può accadere che due sottospazi siano paralleli (in senso "proprio"), cioè appartengano rispettivamente a due iperpiani paralleli. In quel caso, ovviamente, la loro intersezione è vuota