Intersezione di un chiuso con un compatto è compatto?

[Jerico1]

Ciao,
il problema è il seguente :
dimostrare che in uno spazio topologico $S$, l'intersezione di un chiuso $C$ con un compatto $D$ è un compatto.

La linea di dimostrazione che sto cercando di seguire è la seguente:
dato che un sottospazio chiuso di uno spazio compatto è ancora compatto, se dimostro che $C\capD$ è un sottospazio chiuso di $D$ allora sarà anche compatto.

Purtroppo non saprei come dimostrare che $C\capD$ è un sottospazio chiuso di $D$
I tentativi mi portano su vicoli ciechi (es. dim. che il complementare è un aperto, che contiene la sua frontiera o che coincide con la sua chiusura), ma questo è un mio limite.

Qualcuno saprebbe aiutarmi?

grazie in anticipo

[perplesso1]

Suggerimento: prendi un ricoprimentò ${C_i}_{i \in I}$ dell'intersezione $C \cap D$. Allora la differenza $S-C$ è un aperto e la collezione di aperti ${C_i} \cup {S-C}$ è un ricopriemento di $D$ .... concludi tu.

[Jerico1]

....ma $D$ è un compatto per cui posso estrarre un sottoricoprimento finito.

Dato che $\{S-C\}\capC =\phi$ i rimanenti elementi del sottoricoprimento finito ricoprono $C\capD\$

Perplesso, ti torna?

Thx,
Jerico

[perplesso1]

Ottimo. Ciao.

[elvis3]

"Jerico":Purtroppo non saprei come dimostrare che C∩D è un sottospazio chiuso di D.

Per definizione, i sottospazi chiusi di \(D\) sono del tipo \(C \cap D\) al variare di \(C\) tra i chiusi di \(S\), quindi.

[Jerico1]

Ciao Elvis,
oserei dire immediato, ma non riuscivo a "vederla". Grazie mille.