Intersezione di sottospazi vettoriali

[dissonance]

Supponiamo che $V$ sia uno spazio vettoriale. Se $X,Y$ sono due suoi sottospazi, presentati dai sistemi di generatori $S, T$ (ovvero $ =X, =Y$), possiamo trovare un sistema di generatori per $XnnY$?
A naso un insieme del genere dovrebbe essere composto da tutti gli elementi di $S$ che dipendono linearmente dagli elementi di $T$ e viceversa. Corretto?

[Sk_Anonymous]

Se tu hai i generatori di due sottospazi $U,W$ di $V$, ti conviene passare alle equazioni cartesiane, trovare l'intersezione mettendo a sistema e poi da qui ricavarti i generatori del sottospazio intersezione.

[Dorian1]

E' sempre possibile trovare un sistema di generatori (ad esempio una base...)

[dissonance]

scusate il ritardo, in questi giorni non ho potuto avere accesso al forum.
Vi ringrazio dell'interessamento. Purtroppo non mi sono spiegato bene nel post originario, provo ad essere più preciso:
supponiamo che $V$ sia uno spazio vettoriale non necessariamente di dimensione finita. Prendiamo due suoi sottospazi $X$, $Y$, presentati mediante generatori (anche qui, non necessariamente basi) $S,T$. ($X= , Y= $). Quello che vorrei cercare di capire è se $S,T$ contengono un sistema di generatori di $XnnY$.

Il caso in cui $V$ è a dimensione finita è il più semplice, ma già qui ho qualche dubbio. In questo caso possiamo direttamente supporre $S={s_1,ldots,s_h}, T={t_1,ldots,t_k}$ basi di $X, Y$. Domanda: riusciamo a trovare un sistema di generatori per $XnnY$ scegliendo opportunamente degli elementi di $SuuT$?

Se ho capito bene il post di Sergio, la risposta è si: giustapponendo $S, T$
${s_1,ldots,s_h, t_1,ldots,t_k}$ possiamo poi estrarre (algoritmo degli scarti successivi) una base di $X+Y$ (che poi è lo spazio generato da $SuuT$). I vettori che il nostro algoritmo scarta perché linearmente dipendenti dagli altri vanno a generare $XnnY$. Giusto?

[dissonance]

"dissonance":Domanda: riusciamo a trovare un sistema di generatori per $XnnY$ scegliendo opportunamente degli elementi di $SuuT$?

Risposta: no! Non è detto. Ad esempio, se prendiamo due piani distinti in $RR^3$ passanti per l'origine, la loro intersezione è necessariamente una retta. Ma possiamo tranquillamente scegliere due basi per i due piani, tali che la direzione della retta non sia uno dei loro vettori.

[Piggy1]

Qualcuno mi sa spiegare come capire se F è epimorfismo monomorfismo o isomorfismo tramite l'equazione dimensionale :

dim V = dim KER F + dim IM F


grazie in anticipo!

[mistake89]

Ma non era meglio aprire un post a parte?
Comunque se la $dimkerf=0$ allora hai un monomorfismo (perchè?). Se la $dimImF$ è uguale alla dimensione dello spazio di arrivo abbiamo un epimorfismo, poiché per definizione abbiamo un'applicazione surgettiva.
Nel caso di un isomorfismo, e bada bene che spazio di arrivo e spazio di partenza devono avere entrambi la stessa dimensione, ti basterà verificare una delle due condizioni...