Intersezione di sottospazi - esercizio
Cari matematici,
stavo esercitadomi sull'ìntersezione tra sottospazi e sono incappato in questo quesito:
sia A={a1,a2,a3} famiglia di vettori e base si S, sottospazio di V
Sia B la famiglia così definita:
b1=a1-a2
b2=a1+a2+a3
b3=2a1+a3
sia T il sottospazio generato da B
Determinare S intersezione T fornendone la base e determinarne la dimensione
Come ho ragionato:
Determino una base di T; mi sono reso conto che b2 e b3 sono linearmente indipendenti, riduco la famiglia e ottengo la base.
Essendo a1..... vettori, mi trovo in Rn; la dimensione di S è 3 (ma non posso dire che sia R3, vero?)
la dimensione di T è 2.
E per l'intersezione?
In teoria S dovrebbe contenere T, quindi la dimensione dovrebbe essere anch'essa 2, però non saprei determinarne la base...
Qualcuno saprebbe aiutarmi?
Grazie mille per l'attenzione fornitami
stavo esercitadomi sull'ìntersezione tra sottospazi e sono incappato in questo quesito:
sia A={a1,a2,a3} famiglia di vettori e base si S, sottospazio di V
Sia B la famiglia così definita:
b1=a1-a2
b2=a1+a2+a3
b3=2a1+a3
sia T il sottospazio generato da B
Determinare S intersezione T fornendone la base e determinarne la dimensione
Come ho ragionato:
Determino una base di T; mi sono reso conto che b2 e b3 sono linearmente indipendenti, riduco la famiglia e ottengo la base.
Essendo a1..... vettori, mi trovo in Rn; la dimensione di S è 3 (ma non posso dire che sia R3, vero?)
la dimensione di T è 2.
E per l'intersezione?
In teoria S dovrebbe contenere T, quindi la dimensione dovrebbe essere anch'essa 2, però non saprei determinarne la base...
Qualcuno saprebbe aiutarmi?
Grazie mille per l'attenzione fornitami
Risposte
L'ipotesi che hai è che [tex]\{a_1, a_2, a_3\}[/tex] sia una base del sottospazio [tex]S[/tex] da loro generato. Quindi sai che i tre vettori sono linearmente indipendenti e che la dimensione di [tex]S[/tex] è 3.
A questo punto puoi identificare [tex]S[/tex] con [tex]\mathbb R^3[/tex], anche se in generale non è corretto dire che sono lo stesso spazio. Quindi [tex]T[/tex] è generato da [tex]b_1 = a_1 - a_2[/tex], [tex]b_2 = a_1 + a_2 + a_3[/tex] e [tex]b_3 = 2a_1 + a_3[/tex]. Puoi organizzare le componenti di questi vettori rispetto alla tua base in una matrice
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
e calcolarne il rango. Viene 2, sicché abbiamo dimostrato che [tex]T[/tex] ha dimensione 2.
A questo punto puoi identificare [tex]S[/tex] con [tex]\mathbb R^3[/tex], anche se in generale non è corretto dire che sono lo stesso spazio. Quindi [tex]T[/tex] è generato da [tex]b_1 = a_1 - a_2[/tex], [tex]b_2 = a_1 + a_2 + a_3[/tex] e [tex]b_3 = 2a_1 + a_3[/tex]. Puoi organizzare le componenti di questi vettori rispetto alla tua base in una matrice
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
e calcolarne il rango. Viene 2, sicché abbiamo dimostrato che [tex]T[/tex] ha dimensione 2.
Graz
Beh, come al solito! Due qualsiasi righe indipendenti formano una base... Quindi ad esempio vanno bene [tex]b_2[/tex] e [tex]b_3[/tex]...
no.... Così trovo una base di T... Io cerco la base dell'intersezione
Ah scusa, avevo letto male.
Però, hai scritto bene, non capisco le tue perplessità: certo che [tex]T \subset S[/tex]! Infatti, [tex]S[/tex] contiene tutte le combinazioni lineari dei propri elementi!
Però, hai scritto bene, non capisco le tue perplessità: certo che [tex]T \subset S[/tex]! Infatti, [tex]S[/tex] contiene tutte le combinazioni lineari dei propri elementi!
è proprio il fatto di non avere numeri ma vettori generici che mi confonde un po'.... Finchè si tratta di scalari non ho problemi... Ma con spazi pluridimensionali.... Ahahah! Comunque la mia perplessità nasce dall'aver voluto pensare a S come R3 e all'intersezione come R2; se il piano generato non taglia lo spazio in maniera perpendicolare alla base di R3 non devo ruotare il tutto?
Come avrai notato, ho un po' di perplessità sull'argomento ahahah
Come avrai notato, ho un po' di perplessità sull'argomento ahahah
No, quello che dici non ha granché senso. L'intersezione di [tex]\mathbb R^3[/tex] con un qualsiasi piano (vettoriale) in esso contenuto darà sempre il piano, ma per pure ragioni insiemistiche (qui l'algebra lineare non c'entra nulla!).
Poi, ripeto, va benissimo che tu pensi a [tex]S[/tex] come a [tex]\mathbb R^3[/tex]; per visualizzare le situazioni è ottimo. Basta che fai attenzione nella formalizzazione dei ragionamenti, però!
Poi, ripeto, va benissimo che tu pensi a [tex]S[/tex] come a [tex]\mathbb R^3[/tex]; per visualizzare le situazioni è ottimo. Basta che fai attenzione nella formalizzazione dei ragionamenti, però!
Va bene, grazie mille per la pazienza
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