Intersezione di sottospazi di M2(R)
Un esercizio mi chiede una base di \( U\cap W \) con
\( U = \{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} \in M_2 (R)| x+z-2t = 0, x+z+t=0 \} \)
e
\( W = \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_2 (R)| a-b+c=0,b-c+d=0 \} \)
Non mi fido troppo di me stesso e voglio verificare che il procedimento da me adottato sia corretto
Inizialmente ho risolto i sistemi e trovato le basi dei sottospazi:
Per U:
\( \begin{cases} x + z -2t = 0 \\ x+z+t=0 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x = -z \\ t=0 \end{cases} \)
\( \begin{pmatrix} x & y \\ -x & 0 \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)
Per W:
\( \begin{cases} a-b+c=0 \\ b-c+d=0 \end{cases}\Longrightarrow \begin{cases} d=-a \\ b=c+a \end{cases} \)
\( \begin{pmatrix} a & c+a \\ -a & c \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + c\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)
Qui esprimo le matrici come vettori colonna e metto a sistema per fare l'intersezione.
\( x_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=y_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+y_2\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)
\( \begin{cases} x_1 -y_1=0 \\ x_2-y_1-y_2=0 \\ -x_1+y_1=0 \\ y_2=0 \end{cases}\Longrightarrow \begin{cases} x_1=x_2=y_1 \\ y_2=0 \end{cases} \)
Pongo \( x_1 = x_2 = 1 \)
\( U\cap W = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \)
è corretto? spero di si
Grazie a tutti in anticipo! Sto trovando un mare di aiuto in questo forum!
\( U = \{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} \in M_2 (R)| x+z-2t = 0, x+z+t=0 \} \)
e
\( W = \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_2 (R)| a-b+c=0,b-c+d=0 \} \)
Non mi fido troppo di me stesso e voglio verificare che il procedimento da me adottato sia corretto
Inizialmente ho risolto i sistemi e trovato le basi dei sottospazi:
Per U:
\( \begin{cases} x + z -2t = 0 \\ x+z+t=0 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x = -z \\ t=0 \end{cases} \)
\( \begin{pmatrix} x & y \\ -x & 0 \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)
Per W:
\( \begin{cases} a-b+c=0 \\ b-c+d=0 \end{cases}\Longrightarrow \begin{cases} d=-a \\ b=c+a \end{cases} \)
\( \begin{pmatrix} a & c+a \\ -a & c \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + c\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)
Qui esprimo le matrici come vettori colonna e metto a sistema per fare l'intersezione.
\( x_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=y_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+y_2\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)
\( \begin{cases} x_1 -y_1=0 \\ x_2-y_1-y_2=0 \\ -x_1+y_1=0 \\ y_2=0 \end{cases}\Longrightarrow \begin{cases} x_1=x_2=y_1 \\ y_2=0 \end{cases} \)
Pongo \( x_1 = x_2 = 1 \)
\( U\cap W = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \)
è corretto? spero di si
Grazie a tutti in anticipo! Sto trovando un mare di aiuto in questo forum!
Risposte
C'è un errore per $W$ , dovrebbe essere $ w in W = ((a,a+c),(c, -a)) = a ((1,1),(0,-1))+ c((0,1),(1,0)) $.
Che CdL stai seguendo , sei al primo anno ?
Che CdL stai seguendo , sei al primo anno ?
Ops... errore di distrazione... quindi il resto del procedimento è giusto?
Faccio ingegneria informatica, la materia è di primo io sono fuoricorso, l'ho rimandata un pò prediligendo altre materie più "informatiche", non ho fatto le cose in ordine
Faccio ingegneria informatica, la materia è di primo io sono fuoricorso, l'ho rimandata un pò prediligendo altre materie più "informatiche", non ho fatto le cose in ordine
Sì il procedimento è corretto però ti conviene rifare i conti per arrivare al risultato finale che, ovviamente è assai diverso (e.. interessante) da quello a cui eri giunto tu.
Rifacendo i calcoli alla fine l'intersezione è la matrice nulla
\( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)
Grazie mille! Devo solo stare più attento!
\( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)
Grazie mille! Devo solo stare più attento!
Ultima cosa che dimenticavo di verificare è una base di U+W
Scrivendo le basi di U e di W in una matrice come vettori colonna:
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \)
Vediamo che il rango è pari a 4 (se usiamo gauss vediamo che non ci sono pivot nulli)
Quindi una base di U+W è
\( \{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \} \)
giusto?
Scrivendo le basi di U e di W in una matrice come vettori colonna:
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \)
Vediamo che il rango è pari a 4 (se usiamo gauss vediamo che non ci sono pivot nulli)
Quindi una base di U+W è
\( \{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \} \)
giusto?
Esatto l'intersezione è la matrice nulla.
Quindi vuol dire che $U+W $ è una somma diretta e genera il sottospazio di dimensione 4 delle matrici 2x2 ; infatti dal teorema delle dimensioni : $Dim(U+W) = Dim U +Dim W -Dim ( U nn W ) = 2+2-0=4 $
Quindi vuol dire che $U+W $ è una somma diretta e genera il sottospazio di dimensione 4 delle matrici 2x2 ; infatti dal teorema delle dimensioni : $Dim(U+W) = Dim U +Dim W -Dim ( U nn W ) = 2+2-0=4 $
Corretto anche l'ultimo tuo post ; dico che una base di $U o+ W$ è anche $ ((1,0),(0,0)) ; (( 0,1),(0,0)); ((0,0),(1,0)) ;((0,0),(0,1 ))$
Grazie mille! Mi sei stato di grandissimo aiuto!
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