Intersezione di sottospazi
Ciao a tutti, vorrei togliermi un dubbio.
Io ho due sottospazi vettoriali e devo determinarne somma e intersezione. Determinarne la somma è semplice considerando che, posti V e W i due sottospazi, V+W=L(Bv U Bw). C'è invece una formula del genere per determinarne l'intersezione? La formula di Grassman mi permette di determinare solamente la dimensione dell'intersezione conoscendo la dimensione della somma e la dimensione dei due sottospazi, ma come posso passare dalla dimensione dell'intersezione all'intersezione?
Io ho due sottospazi vettoriali e devo determinarne somma e intersezione. Determinarne la somma è semplice considerando che, posti V e W i due sottospazi, V+W=L(Bv U Bw). C'è invece una formula del genere per determinarne l'intersezione? La formula di Grassman mi permette di determinare solamente la dimensione dell'intersezione conoscendo la dimensione della somma e la dimensione dei due sottospazi, ma come posso passare dalla dimensione dell'intersezione all'intersezione?
Risposte
Anche io ho dei dubbi in merito.
Basta prendere dei vettori, da una base di $W$, che appartengano a $V$.
Quindi praticamente se non ci sono vettori "uguali" l'intersezione è uguale al vettore nullo?
"killing_buddha":
Basta prendere dei vettori, da una base di $W$, che appartengano a $V$.
Su $RR^2$ se prendo $B_W={e_1,e_2}$ e $B_V={(1,1)}$, allora seguendo il tuo suggerimento avrei l'insieme vuoto come base dell'intersezione. Infatti $e_1,e_2$ non appartengono a $V$. Ma in realtá l'intersezione è sempre $V$. (Sempre se ho colto bene il tuo suggerimento)
"floyd123":
Quindi praticamente se non ci sono vettori "uguali" l'intersezione è uguale al vettore nullo?
Ovviamente no!
Quello che intendevo è che c'è un algoritmo per decidere se $u$ sta in $W$; basta prendere una base di $W$, aggiungere $u$, e se il rango della matrice che ha questi vettori per colonne non si è alzato, allora $u$ stava in $W$.
"Ernesto01":
[quote="killing_buddha"]Basta prendere dei vettori, da una base di $W$, che appartengano a $V$.
Su $RR^2$ se prendo $B_W={e_1,e_2}$ e $B_V={(1,1)}$, allora seguendo il tuo suggerimento avrei l'insieme vuoto come base dell'intersezione. Infatti $e_1,e_2$ non appartengono a $V$. Ma in realtá l'intersezione è sempre $V$. (Sempre se ho colto bene il tuo suggerimento)[/quote]
Del resto $e_1+e_2$ sta in $V$ (e in effetti ne è la base).
Allora, io ho due sottospazi U=[f=ao+a1+a2x^2+a3x^3+a4x^4 tale che ao-a2a3=ao-a2-a3+a4=0]
e W=[f tale che 2ao-2a2+a4=ao+a2-a4=0], e determino le due basi Bu=(x,1+x^2,-1+x^3+2x^4) e Bw=(x,x^3,1+3x^2+4x^4). Attenzione: le due basi le ho ricavate tramite isomorfismo inverso, partendo da Bu=[(0,1,0,0,0), (1,0,1,0,0), (-1,0,0,1,2)] e Bw=[(0,1,0,0,0), (0,0,0,1,0), (1,0,3,0,4]. Mi potresti aiutare a determinare U+W e la sua dimensione e U intersecato W e la sua dimensione? Per determinare U+W dovrei considerare il sistema generato da Bu unito Bw; tale sistema ha rango 4 e dunque la dimensione di U+W è 4: è corretto ciò? Quello che non mi torna è che Bu ha dimensione 3 e anche Bw, quindi se applico la formula di Grassman mi viene 4=3+3-dim(U intersecato W): dovrei dedurre che la dimensione di U intersecato W è 2? Se sì, come determino U intersecato W?
e W=[f tale che 2ao-2a2+a4=ao+a2-a4=0], e determino le due basi Bu=(x,1+x^2,-1+x^3+2x^4) e Bw=(x,x^3,1+3x^2+4x^4). Attenzione: le due basi le ho ricavate tramite isomorfismo inverso, partendo da Bu=[(0,1,0,0,0), (1,0,1,0,0), (-1,0,0,1,2)] e Bw=[(0,1,0,0,0), (0,0,0,1,0), (1,0,3,0,4]. Mi potresti aiutare a determinare U+W e la sua dimensione e U intersecato W e la sua dimensione? Per determinare U+W dovrei considerare il sistema generato da Bu unito Bw; tale sistema ha rango 4 e dunque la dimensione di U+W è 4: è corretto ciò? Quello che non mi torna è che Bu ha dimensione 3 e anche Bw, quindi se applico la formula di Grassman mi viene 4=3+3-dim(U intersecato W): dovrei dedurre che la dimensione di U intersecato W è 2? Se sì, come determino U intersecato W?
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