Intersezione date le componenti dei sottospazi??

[Bertucciamaldestra]

Ciao a tutti!!
Mi aiutereste a calcolare $W∩V$?
$V= {(u+2v, u-v, 2u+3v) : u,v ∈ R}$
$W= {(u-v, u, u+v) : u,v ∈ R}$
Per calcolare la somma dei due sottospazi basta fare componente + componente.

Per l'intersezione devo mettere a sistema due vettori scritti come combinazioni lineari, uno di V, l' altro di W, ed eguagliarli.
Il problema è che mi è venuto fuori un sistema infinito che non riesco a risolvere:

${ x_(1)u + 2x_(1)v = x_(2)u - x_(2)v$
${x_(1)u - x_(1)v = x_(2)v$
${2x_(1)u + 3x_(1)v = x_(2)u + x_(2)v$

Almeno il procedimento è giusto? Il libro da la soluzione $W∩V = {(-5v, -8v, -11v)}$

Grazie!!!

[sandroroma]

\[ \begin{pmatrix}1&-3\\-2&1\end{pmatrix, \begin{pmatrix}1&-3\\-2&1\end{pmatrix} \]Con le usuali tecniche è possibile determinare le equazioni algebriche dei sottospazi V e W.
Precisamente per V si ottiene l'equazione :
$5x+y-3z=0$
e per W l'equazione:
$x-2y+z=0$
Mettendo insieme le due equazioni si ottiene il sistema:
\begin{cases}5x+y-3z=0\\x-2y+z=0\\\end{cases}
le cui soluzioni risolvono il problema.
Ora il sistema proposto è un sistema lineare omogeneo di 2 equazioni e 3 incognite e , come è noto, un
sistema del genere ha come soluzioni valori proporzionali ai minori, presi con segno alterno, che si
ottengono dalla matrice dei coefficienti cancellando una colonna per volta.
Pertanto le soluzioni sono proporzionali rispettivamente a:
\begin{pmatrix}1&-3\\-2&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-5&3\\1&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}5&1\\1&-2\end{pmatrix}
In definitiva si ha che le soluzioni sono:
$x=-5t,y=-8t,z=-11t$ dove t è un coefficiente di proporzionalità arbitrario.

[Bertucciamaldestra]

Grazie per la risposta! Ma non ho capito il primissimo passaggio, come hai fatto a riscrivere i sottospazi come equazioni algebriche?