Intersezione cono-piano!!!

[jonk64]

Salve a tutti. Nella definizione di parabola si dice che questa si costruisce come intersezione di un cono con un piano parallelo a una generatrice. E' qui che mi sorge un dubbio:

Prendiamo il cono descritto dall'equazione $x^2+y^2-z^2=0$ , una sua generatrice è la retta $\{(x = 1+t), (y = 0), (z = 1+t):}$.
Se io prendo il piano $x+y-z = 1$, parallelo alla generatrice scritta sopra, e lo disegno insieme al cono in un software di geometria 3D, viene fuori un'iperbole. Dove sbaglio?? Grazie in anticipo.

[vittorino70]

Se poni \(\displaystyle u=t+1 \) le equazioni della generatrice da te scelta diventano più semplici:
\(\displaystyle \begin{cases} x=u\\y=0\\z=u\end{cases}\), oppure: \(\displaystyle (1) \begin{cases} x=z\\y=0\end{cases}\)
Detto ciò, ricordiamoci che la parabola si ottiene secando la superficie conica ( a due falde ) con un piano che tagli tutte le generatrici TRANNE UNA.
Se invece il piano taglia tutte le generatrici allora: si ha l'ellisse se il detto piano taglia una sola falda, l'perbole se taglia entrambe le falde della superficie conica.
"Unfortunately", con un colpo magistrale , hai pescato un piano che è parallelo alla generatrice (1) ma anche alla generatrice di equazioni \(\displaystyle \begin{cases} y=z\\x=0\end{cases}\), come puoi verificare. Queste due generatrici sono ovviamente complanari e appartengono ad entrambe le falde. Pertanto il piano \(\displaystyle x+y-z=1 \) taglia necessariamente entrambe le falde e quindi dà luogo ad una iperbole. Tutto questo lo puoi verificare sul grafico 3D che hai programmato.

[jonk64]

Grazie mille! Ho risolto il problema di trovare la parabola su un cono così:
-Prendo un piano tangente al cono, così ho un piano parallelo a una sola generatrice.
-Traslo il piano.
Così l'intersezione tra il piano traslato e il cono è una parabola! E' corretto??