Intersezione cilindro piano
Ciao a tutti.
Il mio problema è quello di trovare le varie ellissi che si ottengono dalla intersezione di un cilindro e un piano,con il piano che ruota lungo un asse.
Io ho considerato il caso in cui l' asse del cilindro coincide con l' asse y e il piano ruota intorno all' asse z.
Ho preso come equazione cartesiana del cilindro: $ x^2 + z^2=1 $ ;conoscendo un punto appartenente al piano
$((x_0),(y_0),(z_0))$=$((0),(0),(0))$ e il versore normale al piano $((a),(b),(c))$=$((\cos\theta),(\sin\theta),(0))$ (con $\theta$ angolo $in$ $((0,\pi)$ ), posso definire il piano con la equazione $a(x-x_0)+ b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ ottenendo $\cos\theta*(x)+ \sin\theta*(y)=0$.
Per ottenere l' intersezione metto a sistema le due equazioni
$\{(x^2 + z^2=1),(x=\frac{-y}{\cot(\theta)}):}$
Allora la curva che si ottiene è una ellisse di equazione $ \frac{y^2}{\(cot(\theta))^2} + z^2=1 $ posta nel piano $x=\frac{-y}{\cot(\theta)}$
Sicuramente ho sbagliato qualcosa perchè per l' angolo $ \frac{\pi}{4} $ ottengo che la curva è una circonferenza,mentre io la dovrei avere quando l' angolo è di 90 gradi.
Il mio problema è quello di trovare le varie ellissi che si ottengono dalla intersezione di un cilindro e un piano,con il piano che ruota lungo un asse.
Io ho considerato il caso in cui l' asse del cilindro coincide con l' asse y e il piano ruota intorno all' asse z.
Ho preso come equazione cartesiana del cilindro: $ x^2 + z^2=1 $ ;conoscendo un punto appartenente al piano
$((x_0),(y_0),(z_0))$=$((0),(0),(0))$ e il versore normale al piano $((a),(b),(c))$=$((\cos\theta),(\sin\theta),(0))$ (con $\theta$ angolo $in$ $((0,\pi)$ ), posso definire il piano con la equazione $a(x-x_0)+ b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ ottenendo $\cos\theta*(x)+ \sin\theta*(y)=0$.
Per ottenere l' intersezione metto a sistema le due equazioni
$\{(x^2 + z^2=1),(x=\frac{-y}{\cot(\theta)}):}$
Allora la curva che si ottiene è una ellisse di equazione $ \frac{y^2}{\(cot(\theta))^2} + z^2=1 $ posta nel piano $x=\frac{-y}{\cot(\theta)}$
Sicuramente ho sbagliato qualcosa perchè per l' angolo $ \frac{\pi}{4} $ ottengo che la curva è una circonferenza,mentre io la dovrei avere quando l' angolo è di 90 gradi.
Risposte
Seno su coseno fa?
ho scritto la cotangente per rendere immediatamente visibile il semiasse dell' ellisse
E cosa succede se la cotangente va a $0$ o $oo$?
In particolare il piano che ti interessa è:
$y=0$
L'equazione della tua circonferenza è:
$\{(x^2+z^2=1),(y=0):}$
La tua invece è:
$\{(y^2+z^2=1),(y=±x):}$
In particolare il piano che ti interessa è:
$y=0$
L'equazione della tua circonferenza è:
$\{(x^2+z^2=1),(y=0):}$
La tua invece è:
$\{(y^2+z^2=1),(y=±x):}$
ho il piano individuato da $x=0$.comunque il problema c'è quando l' angolo è prossimo a $ \frac{\pi}{2}$ perchè il semiasse risulterebbe prossimo allo zero e invece deve essere maggiore 1;uguale a 1 solo quando l' intersezione è una circonferenza circonferenza
Dai un occhio a quello che ho scritto, ho aggiunto un pezzetto 
perchè ti viene così?
nel caso che consideri per avere $ y=0 $ l' angolo $\theta$ è $ \frac{\pi}{2} $ e nella mia equazione del piano $\cos\theta*(x)+ \sin\theta*(y)=0$ ho anche io $ y=0$
nel caso che consideri per avere $ y=0 $ l' angolo $\theta$ è $ \frac{\pi}{2} $ e nella mia equazione del piano $\cos\theta*(x)+ \sin\theta*(y)=0$ ho anche io $ y=0$
Pensa questo, una circonferenza in $RR^3$ puoi vederla con una sfera che viene tagliata da un certo piano, quindi l'equazione per trovare una circonferenza con centro nell'origine dovrebbe rispettare questa formula:
${(x^2+y^2+z^2=1),(cos(theta)x + sin(theta)y=0):}$
In più i punti devono anche appartenere al cilindro, quindi:
${(x^2+y^2+z^2=1),(cos(theta)x + sin(theta)y=0),(x^2+z^2=1):}$
E così è evidente quello che devi trovare
${(x^2+y^2+z^2=1),(cos(theta)x + sin(theta)y=0):}$
In più i punti devono anche appartenere al cilindro, quindi:
${(x^2+y^2+z^2=1),(cos(theta)x + sin(theta)y=0),(x^2+z^2=1):}$
E così è evidente quello che devi trovare
Forse ho capito...
Con l' ultima equazione che mi viene non ottengo l' ellisse reale,ma la sua proiezione sul piano $z$-$y$.
Penso allora di studiare le proiezioni su un libro di geometria
Con l' ultima equazione che mi viene non ottengo l' ellisse reale,ma la sua proiezione sul piano $z$-$y$.
Penso allora di studiare le proiezioni su un libro di geometria
Forse ho capito...
Con l' ultima equazione che mi viene non ottengo l' ellisse reale,ma la sua proiezione sul piano $z$-$y$.
Penso allora di studiare le proiezioni su un libro di geometria
Con l' ultima equazione che mi viene non ottengo l' ellisse reale,ma la sua proiezione sul piano $z$-$y$.
Penso allora di studiare le proiezioni su un libro di geometria
Esatto, diciamo così, in poche parole tu hai ottenuto un diverso cilindro che passa per i punti di quella ellissi, però una volta tagliato diventa evidente che è un'ellissi
ok grazie.
immaginarmi la sfera è servito.
immaginarmi la sfera è servito.
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