Interpretazione passaggio tratto da un articolo
In un articolo (ovviamente in inglese), tra l'altro piuttosto datato (1966), di S. Kaniel, dove si parla di stime per alcune tecniche computazionali nell'algebra lineare c'è un passaggio in cui ho dei dubbi di traduzione/interpretazione.
Ad un certo punto, dati $A in ccM_{n times n}$ simmetrica e defininta positiva, e un vettore $f$, viene detto
Ecco, $H_k$ è un sottospazio vettoriale, $P$ è... una matrice? Ma non dovrebbe essere anch'esso un sottospazio?
E poi, cosa si intende con "restrizione di $PA$ (che se non sbaglio è una matrice) su $H_k$"?
Magari è una banalità, ma non riesco a venirne fuori
Ad un certo punto, dati $A in ccM_{n times n}$ simmetrica e defininta positiva, e un vettore $f$, viene detto
...
Denote by $H_k$ the subspace spanned by the vectors $f, Af, ..., A^k f$;
denote by $P$ the orthogonal projection on $H_k$,
and by $B$ the restriction of $PA$ to $H_k$ (it is a well defined $(k+1)times (k+1)$ matrix)
...
Ecco, $H_k$ è un sottospazio vettoriale, $P$ è... una matrice? Ma non dovrebbe essere anch'esso un sottospazio?
E poi, cosa si intende con "restrizione di $PA$ (che se non sbaglio è una matrice) su $H_k$"?
Magari è una banalità, ma non riesco a venirne fuori
Risposte
No, $P$ è l'applicazione "di proiezione ortogonale" su $H_k$. In pratica $P:M_{n\times n}\rightarrow H_k$ e $P^2=P$. (Suppongo lo spazio di partenza sia quello delle matrici quadrate di ordine $n$).
mmhh, .. ok. Ma $B$ è una matrice. Come viene fuori?
Al limite, posso chiederti un chiarimento definitivo con un esempio?
Prendiamo $A=((4,1,0,0),(1,1,0,0),(0,0,8,0),(0,0,0,1))$, matrice $4 times 4$ simmetrica e definita positiva.
Prendiamo$f=e_1=((1),(0),(0),(0))$ e $k=1$. Si ha $Af= ((4),(1),(0),(0))$ e $H_1 = text{Span}{f,Af}$
Ecco, $P: M_{4 times 4} -> H_1$ è tale che $P^2=P$ (cosa che poi non ha molto senso perchè il codominio non è contenuto nel dominio. Il dominio è un insieme di matrici $4 times 4$, il codominio è un insieme di vettori $4 times 1$)
Ma come è definita? E quanto viene $PA$? (forse ha più senso scrivere $P(A)$)
E $B=?$ dovrebbe essere una matrice $2 times 2$
Al limite, posso chiederti un chiarimento definitivo con un esempio?
Prendiamo $A=((4,1,0,0),(1,1,0,0),(0,0,8,0),(0,0,0,1))$, matrice $4 times 4$ simmetrica e definita positiva.
Prendiamo$f=e_1=((1),(0),(0),(0))$ e $k=1$. Si ha $Af= ((4),(1),(0),(0))$ e $H_1 = text{Span}{f,Af}$
Ecco, $P: M_{4 times 4} -> H_1$ è tale che $P^2=P$ (cosa che poi non ha molto senso perchè il codominio non è contenuto nel dominio. Il dominio è un insieme di matrici $4 times 4$, il codominio è un insieme di vettori $4 times 1$)
Ma come è definita? E quanto viene $PA$? (forse ha più senso scrivere $P(A)$)
E $B=?$ dovrebbe essere una matrice $2 times 2$
\(PA\) è una applicazione lineare in quanto prodotto di applicazioni lineari. La restizione di una applicazione lineare ad un sottospazio è ancora una applicazione lineare e \(P\) garantisce che l'immagine sia ancora nel sottospazio. Perciò è ovviamente una matrice \((k+1)\times(k+1)\) rispesso alla base \(f, Af,\dotsc, A^kf\) che immagino abbia supposto linearmente indipendente (ovviamente esiste un massimo \(k\) per cui questo è vero).
"Gi8":
mmhh, .. ok. Ma $B$ è una matrice. Come viene fuori?
Al limite, posso chiederti un chiarimento definitivo con un esempio?
Prendiamo $A=((4,1,0,0),(1,1,0,0),(0,0,8,0),(0,0,0,1))$, matrice $4 times 4$ simmetrica e definita positiva.
Prendiamo$f=e_1=((1),(0),(0),(0))$ e $k=1$. Si ha $Af= ((4),(1),(0),(0))$ e $H_1 = text{Span}{f,Af}$
Ecco, $P: M_{4 times 4} -> H_1$ è tale che $P^2=P$ (cosa che poi non ha molto senso perchè il codominio non è contenuto nel dominio. Il dominio è un insieme di matrici $4 times 4$, il codominio è un insieme di vettori $4 times 1$)
Ma come è definita? E quanto viene $PA$? (forse ha più senso scrivere $P(A)$)
E $B=?$ dovrebbe essere una matrice $2 times 2$
\(\displaystyle P \) è una applicazione \(\displaystyle \mathbb{R}^4\to H_1 \) e il prodotto è la composizione delle due applicazioni lineari.
Ah, ok. In pratica $B$ va da $H_k$ in $H_k$.
$P: RR^4->H_k$ è l'applicazione lineare "proiezione ortogonale", quella solita:
per ogni $u in RR^4$,
$u$ può essere scritto in uno e un sol modo come $v +v'$ con $v in H_k$, \(\displaystyle v' \in {H_k}^{\perp}\). Ebbene $P(u)=v$.
Preso $g in RR^4$ si ha $Ag in RR^4$, dunque ha senso fare $P(A(g))$, che sta in $H_k$.
Pertanto $PA: RR^4 -> H_k$, e $B: H_k-> H_k$ è definito da $B(g)=P(A(g))$, che è un'applicazione lineare.
Rispetto alla base ${f, Af,...,A^k f}$ $B$ può essere messa sotto forma di matrice.
Alla fine, come al solito, mi sono perso in un bicchiere d'acqua. Grazie mille ciampax e vict85, gentilissimi
$P: RR^4->H_k$ è l'applicazione lineare "proiezione ortogonale", quella solita:
per ogni $u in RR^4$,
$u$ può essere scritto in uno e un sol modo come $v +v'$ con $v in H_k$, \(\displaystyle v' \in {H_k}^{\perp}\). Ebbene $P(u)=v$.
Preso $g in RR^4$ si ha $Ag in RR^4$, dunque ha senso fare $P(A(g))$, che sta in $H_k$.
Pertanto $PA: RR^4 -> H_k$, e $B: H_k-> H_k$ è definito da $B(g)=P(A(g))$, che è un'applicazione lineare.
Rispetto alla base ${f, Af,...,A^k f}$ $B$ può essere messa sotto forma di matrice.
Alla fine, come al solito, mi sono perso in un bicchiere d'acqua. Grazie mille ciampax e vict85, gentilissimi
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