Interpretazione matrice come sistema e soluzioni
Ciao a tutti, sto svolgendo alcuni esercizi in cui mi è richiesto di interpretare una matrice, come matrice completa di un sistema lineare e dire quando ha soluzioni. Siccome mi trovo in difficoltà e non ho risultati su cui confrontarmi volevo capire con voi se seguo i procedimenti corretti.
Il primo esercizio:
\(\displaystyle \begin{bmatrix}
2 & 4 & -2 & 2 & 0\\
-1 & -2 & 2-\alpha & -\alpha & \alpha-1\\
2 & 4 & -\alpha-1 & 3-\alpha & 0\\
1 & 2 & 1-2\alpha & 3-2\alpha & \alpha-1
\end{bmatrix} \)
eseguendo l'eliminazione gaussiana trovo che
\(\displaystyle rk(A)\neq rk(A|b) \) quindi per il teorema di Rouché_Capelli posso affermare che il sistema non è risolvibile. A conferma anche che il determinante risulta = 0
1)È corretto?
Il secondo esercizio:
Mi viene dato il seguente sistema
\(\displaystyle
\left\{\begin{matrix}
\alpha x & -y & (\alpha+1)z & =1\\
x & y & 2z & =0\\
3x & y & 3z & =\alpha
\end{matrix}\right. \)
ricavo allora la matrice completa
\(\displaystyle \begin{bmatrix}
\alpha & -1 & \alpha+1 & 1\\
1& 1 & 2 & 0\\
3 & 1 & 3 & \alpha
\end{bmatrix} \)
eseguo le operazioni di gauss
\(\displaystyle E_{1}(1/\alpha) con\alpha\neq0,E_{21}(-1),E_{31}(-3),E_{2}(\alpha/\alpha+1)con \alpha\neq-1,E_{32}(-(\alpha+3/\alpha)),E_{3}(-(\alpha+1/\alpha+5))con\alpha\neq-5 \)
e trovo che
\(\displaystyle rk(A)=3= rk(A|b)=3 \), dunque il sistema ha un'unica soluzione?!
con le condizioni che \(\displaystyle \alpha\neq 0, \alpha\neq -1, \alpha\neq -5 \)
poi verifico i singoli casi, ossia \(\displaystyle \alpha=0, \alpha=-1, \alpha=-5 \)
per ognuno dei casi sostituisco alpha nella matrice originale per verificare se il sistema è risolvibile.
con \(\displaystyle \alpha=0 \) risulta \(\displaystyle rk(A) = 3 = rk(A|b)=3 \) ---> il sistema ha un'unica soluzione
con \(\displaystyle \alpha=-1 \) risulta \(\displaystyle rk(A) = 3 = rk(A|b)=3 \) ---> il sistema ha un'unica soluzione
con \(\displaystyle \alpha=-5 \) risulta \(\displaystyle rk(A) = 3 = rk(A|b)=3 \) ---> sistema non risolvibile
2)Qual'è dunque la risposta conclusiva che devo dare?
3)Non capisco inoltre perchè se anzichè risolvere con il metodo di Gauss svolgo risolvendo attraverso il determinante non trovo \(\displaystyle \alpha=0,\alpha=1 \) ma solo \(\displaystyle \alpha=-5 \)
Grazie a chi riuscirà a spiegarmi
Il primo esercizio:
\(\displaystyle \begin{bmatrix}
2 & 4 & -2 & 2 & 0\\
-1 & -2 & 2-\alpha & -\alpha & \alpha-1\\
2 & 4 & -\alpha-1 & 3-\alpha & 0\\
1 & 2 & 1-2\alpha & 3-2\alpha & \alpha-1
\end{bmatrix} \)
eseguendo l'eliminazione gaussiana trovo che
\(\displaystyle rk(A)\neq rk(A|b) \) quindi per il teorema di Rouché_Capelli posso affermare che il sistema non è risolvibile. A conferma anche che il determinante risulta = 0
1)È corretto?
Il secondo esercizio:
Mi viene dato il seguente sistema
\(\displaystyle
\left\{\begin{matrix}
\alpha x & -y & (\alpha+1)z & =1\\
x & y & 2z & =0\\
3x & y & 3z & =\alpha
\end{matrix}\right. \)
ricavo allora la matrice completa
\(\displaystyle \begin{bmatrix}
\alpha & -1 & \alpha+1 & 1\\
1& 1 & 2 & 0\\
3 & 1 & 3 & \alpha
\end{bmatrix} \)
eseguo le operazioni di gauss
\(\displaystyle E_{1}(1/\alpha) con\alpha\neq0,E_{21}(-1),E_{31}(-3),E_{2}(\alpha/\alpha+1)con \alpha\neq-1,E_{32}(-(\alpha+3/\alpha)),E_{3}(-(\alpha+1/\alpha+5))con\alpha\neq-5 \)
e trovo che
\(\displaystyle rk(A)=3= rk(A|b)=3 \), dunque il sistema ha un'unica soluzione?!
con le condizioni che \(\displaystyle \alpha\neq 0, \alpha\neq -1, \alpha\neq -5 \)
poi verifico i singoli casi, ossia \(\displaystyle \alpha=0, \alpha=-1, \alpha=-5 \)
per ognuno dei casi sostituisco alpha nella matrice originale per verificare se il sistema è risolvibile.
con \(\displaystyle \alpha=0 \) risulta \(\displaystyle rk(A) = 3 = rk(A|b)=3 \) ---> il sistema ha un'unica soluzione
con \(\displaystyle \alpha=-1 \) risulta \(\displaystyle rk(A) = 3 = rk(A|b)=3 \) ---> il sistema ha un'unica soluzione
con \(\displaystyle \alpha=-5 \) risulta \(\displaystyle rk(A) = 3 = rk(A|b)=3 \) ---> sistema non risolvibile
2)Qual'è dunque la risposta conclusiva che devo dare?
3)Non capisco inoltre perchè se anzichè risolvere con il metodo di Gauss svolgo risolvendo attraverso il determinante non trovo \(\displaystyle \alpha=0,\alpha=1 \) ma solo \(\displaystyle \alpha=-5 \)
Grazie a chi riuscirà a spiegarmi
Risposte
Perchè non scrivi le matrici a scalini?
Primo esercizio. A diventa:
$ ( ( 1 , 2 , -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1-alpha , 1-alpha , alpha-1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , alpha-1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 1-alpha ) ) $
Per $alpha!=1$ $Rk(A)=2$ $Rk(A|b)=3$ nessuna soluzione
Per $alpha=1$ $Rk(A)=1$ $Rk(A|b)=1$ infinite soluzioni
Secondo esercizio. A diventa:
$ ( ( alpha , -1 , alpha+1 , 1 ),( 0 , alpha+1 , alpha-1 , -1 ),( 0 , 0 , -alpha(alpha+5) , alpha(alpha^2+alpha-2) ) ) $
Per $alpha=0$ $Rk(A)=1$ $Rk(A|b)=1$ infinite soluzioni
Per $alpha=-1$ $Rk(A)=2$ $Rk(A|b)=3$ nessuna soluzione
Per $alpha=-5$ $Rk(A)=2$ $Rk(A|b)=3$ nessuna soluzione
Per qualsiasi altro valore di $alpha$, $Rk(A)=3$ $Rk(A|b)=3$ una sola soluzione
Primo esercizio. A diventa:
$ ( ( 1 , 2 , -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1-alpha , 1-alpha , alpha-1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , alpha-1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 1-alpha ) ) $
Per $alpha!=1$ $Rk(A)=2$ $Rk(A|b)=3$ nessuna soluzione
Per $alpha=1$ $Rk(A)=1$ $Rk(A|b)=1$ infinite soluzioni
Secondo esercizio. A diventa:
$ ( ( alpha , -1 , alpha+1 , 1 ),( 0 , alpha+1 , alpha-1 , -1 ),( 0 , 0 , -alpha(alpha+5) , alpha(alpha^2+alpha-2) ) ) $
Per $alpha=0$ $Rk(A)=1$ $Rk(A|b)=1$ infinite soluzioni
Per $alpha=-1$ $Rk(A)=2$ $Rk(A|b)=3$ nessuna soluzione
Per $alpha=-5$ $Rk(A)=2$ $Rk(A|b)=3$ nessuna soluzione
Per qualsiasi altro valore di $alpha$, $Rk(A)=3$ $Rk(A|b)=3$ una sola soluzione
"Bokonon":
Perchè non scrivi le matrici a scalini?
Primo esercizio. A diventa:
$ ( ( 1 , 2 , -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1-alpha , 1-alpha , alpha-1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , alpha-1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 1-alpha ) ) $
Per $alpha!=1$ $Rk(A)=2$ $Rk(A|b)=3$ nessuna soluzione
Per $alpha=1$ $Rk(A)=1$ $Rk(A|b)=1$ infinite soluzioni
Secondo esercizio. A diventa:
$ ( ( alpha , -1 , alpha+1 , 1 ),( 0 , alpha+1 , alpha-1 , -1 ),( 0 , 0 , -alpha(alpha+5) , alpha(alpha^2+alpha-2) ) ) $
Per $alpha=0$ $Rk(A)=1$ $Rk(A|b)=1$ infinite soluzioni
Per $alpha=-1$ $Rk(A)=2$ $Rk(A|b)=3$ nessuna soluzione
Per $alpha=-5$ $Rk(A)=2$ $Rk(A|b)=3$ nessuna soluzione
Per qualsiasi altro valore di $alpha$, $Rk(A)=3$ $Rk(A|b)=3$ una sola soluzione
Chiarissimo, risulta effettivamente più immediato. Grazie.
Ho però un paio di dubbi rispetto alla tua risoluzione.Il primo riguarda l'esercizio 1 e non capisco perchè hai moltiplicato la prima riga per 1/2. L'hai fatto per semplicità dei calcoli successivi o c'è un motivo specifico? Perchè dunque nel secondo esercizio hai tenuto la prima riga cosi com'era?
Il secondo è più per il fatto che non riesco a capire come eliminare il valore in 3,2; ossia il valore con cui devo moltiplicare seconda riga per eliminare il valore che ho in 3,2 ed ottenere dunque 0.
Se non sono stato troppo chiaro, ti scrivo l'esercizio fino al punto in cui sono arrivato.
"renlo":
non capisco perchè hai moltiplicato la prima riga per 1/2. L'hai fatto per semplicità dei calcoli successivi o c'è un motivo specifico?
Mi piace essere nitido. Anzi per la verità l'avevo semplificata ulteriorimente:
$ ( ( 1 , 2 , -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1-alpha , 1-alpha , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 1-alpha ) ) $
...evidenziando l'ultima riga, per cui se $1-alpha$ non è zero, allora non c'è soluzione.
"renlo":
Perchè dunque nel secondo esercizio hai tenuto la prima riga cosi com'era?
Per la medesima ragione. Vogliamo vedere chiaramente i valori che annullano i pivot e non avere frazioni inutili.
Per il resto sono certo che se ripeti Gauss-Jordan troverai la strada da solo. La pratica è essenziale.
Davvero chiarissimo ora mi risulta tutto! Grazie mille
Grazie mille
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