Interpolazione polinomio - vandermonde e unicità polinomio

[markzzz]

Salve, stò affrontando l'argomento "rappresentazione per punti di un dato polinomio" e nel mio libro, ad un certo punto, viene detto :

Per un insieme qualsiasi ${(x0,y0),(x1,y1), ... , (xn, yn)}$ di $n$ punti tali che tutti i valori di $xk$ siano distinti, esiste un unico polinomio $A(x)$ di grado limite $n$ tale che $yk=A(xk)$ per $k=0, 1, ... , n-1$

Ora per la dimostrazione prende una matrice di Vandermonde. (Praticamente mette in forma matriciale l'equazione $yk=A(xk)$).
Il determinante è diverso da 0. Allora la matrice è invertibile.
Qundi, se è invertibile, i valori saranno unicamente determinanti (non singolare, una e un unica soluzione).

Quello che però mi chiedo è : non è possibile (con due diverse matrici) arrivare a due soluzioni uguali? Non dico che ci siano due soluzioni per un dato sistema, ma non potrebbe essere che due determinati sistemi abbiamo una soluzione uguale?

Magari è solo un'idiozia, ma mi è venuto in mente questo dubbio hehe

saluti

[dissonance]

Ma non ci sono due diversi sistemi, perché la matrice è unica e dipende esclusivamente dai nodi $x_k$ e dai valori $y_k$.

[markzzz]

No ok, ma il teorema dimostra che per un determinato insieme di punti, esiste una e una sola rappresentazione per punti.

Quindi quella dimostrazione dovrebbe dirmi che avendo 2 matrici diverse arrivo sempre a 2 soluzioni diverse. Ed è proprio questa la mia domanda : non è possibile, con 2 matrici diverse, avere 2 soluzioni uguali?

Magari è idiota la domanda, sarà anche la stanchezza (23:23)

[dissonance]

"markzzz":Quindi quella dimostrazione dovrebbe dirmi che avendo 2 matrici diverse arrivo sempre a 2 soluzioni diverse.

Non è molto ben posta la domanda, per la verità. Quello che tu puoi cambiare sono nodi $x_k$ e valori $y_k$, e al variare di questi varia anche la matrice di Vandermonde. Potrebbe pure darsi che cambiando nodi e valori si ottengano due matrici di Vandermonde uguali, così come potrebbe darsi che cambiando nodi e valori insieme si ottengano due polinomi uguali. Esempio cretino: prendi il set di dati iniziali $(0,0), (1, 0)$, e il set di dati iniziali $(1, 0), (2, 0)$: sono diversi, ma ti danno sempre lo stesso polinomio.

La cosa importante è che, dando in input un set di dati iniziali, in output ci sia un solo polinomio.

[markzzz]

"dissonance":La cosa importante è che, dando in input un set di dati iniziali, in output ci sia un solo polinomio.

Giusto, perchè partendo da una rappresentazione per coefficenti andando a punti posso avere infinite rappresentazioni (per punti). Quindi, due di queste (diverse) rappresentazioni (per punti) devono portarmi (entrambi) ad un unica rappresentazione per coefficenti. Questo grazie alla propietà dell'invertibilità della matrice.

Non fà una piega!

Grazie per la delucidazione

[dissonance]

Esatto. Invece, se la matrice non fosse stata invertibile avresti avuto un problema: da un set di dati avresti ottenuto più di un polinomio oppure neanche uno. Ed è una cosa che succede eh, anzi è la normalità: quanti polinomi al più di primo grado interpolano il dato $(0,0)$? Infiniti. E quanti polinomi al più di primo grado interpolano i dati $(0, 0), (0, 1), (1, 1)$? Neanche uno.

Va bene. Beh sono contento che una volta tanto ci siamo capiti!