Integrale moltiplicato la norma di un vettore

[LorenzoS1]

volevo chiedere se è corretto procedere in questo modo,

devo calcolare questo integrale moltiplicato la norma di un vettore.

$\( \int_K f( u$, v$, u^2 - v^2$) || N (u,v)|| du dv

mi sono calcolato il vettore normale N

N = $((i,j,k),(1,0,2u),(0,1,-2v))$ = ( -2u,2v,1)


la norma la ottengo in questo modo N = $sqrt(\sum_{n=0}^\infty\(x^2$ )

quindi (2u,2v,1) = $sqrt(4u^2 +4v^2 +1)$

$\ \int_K f( u$, v$, u^2 - v^2$) $sqrt(4u^2 +4v^2 +1)$

$\ \int_K f( u$ $sqrt(4u^2 +4v^2 +1)$ + v $sqrt(4u^2 +4v^2 +1)$ + $(u^2$ - v^2$)$ $sqrt(4u^2 +4v^2 +1))$

semplifico la radice e svolgo i calcoli.

grazie della risposta.

[apatriarca]

Non ho capito il senso dei tuoi passaggi. Il fatto che nella funzione integranda ci sia la norma di un vettore non fa alcuna differenza sul metodo di risoluzione. Non è inoltre assolutamente chiaro come tu sia arrivato al passaggio finale. Ci sono diverse cose poco chiare:
1. La funzione \(f\) è definita come funzione da \( \mathbb R^3 \to \mathbb R \). Ma nell'ultimo passaggio è una funzione \( \mathbb R \to \mathbb R. \)
2. La norma del vettore è uno scalare. Ma tu l'hai trasformata in un vettore e poi hai calcolato il prodotto scalare con il vettore passato come argomento a \(f\).

Non capisco insomma il senso di quello che stai cercando di fare. Devi infatti "semplicemente" calcolare l'integrale di
\[ \int_K f(u, v, u^2 - v^2)\sqrt{4\,u^2 + 4\,v^2 + 1}\,du\,dv \]
I metodi di integrazione sono quelli classici..