Insterezione immagine e ker, domandine
SOno alle prese con un esercizio, mi torna tutto ma ho un dubbio.
es 1---
$varphi ((sqrt(3),0,0,1),(0,sqrt(3),0,1),(0,0,sqrt(3),1),(-1,-1,-1,-sqrt(3)))$
data questa trasf da $v4(R)->v4(R)$ devo calcolarmi alcune cose, vedi rango nullità im(/varphi) etc...
ilmio dubbio è qui, calcolare:
$dim((Im(varphi)nn ker(varphi))$.
Ecco il mio procedimento che dovrebbe esser giusto.
Riscrivo il vettore generico dell'immagine come---> $((sqrt(3)p),(sqrt(3)r),(sqrt(3)z),(-p -r -z))$ $(x1,x2,x3,x4)$
Ogni componente del vettore generico quindi la sostituisco nel ker
Ker($varphi$) ${((sqrt(3)x1 + sqrt(3)x2 +sqrt(3)x3 + x4=0),(sqrt(3)x2 +x4=0),(sqrt(3)x3+x4=0))}$
e ottengo ${((0=0),(2r-p-z=0),(3z-p-r=0))}$
solo una delle 3eq è verificata quindi la dimensione dell intersezione è 1 ? oppure visto che non sono verificate tutte e 3 l'intersezione è nulla?
---------------------------------------------------------------
es 2
Sia $varalpha$ una trasfl da $v3R-->v4R$ e $varbeta$:$v4R->v4R$ rappresentate da
$varalpha$ $((-1,1,0),(1,1,2),(1,1,2),(0,1,1))$
$varbeta$ $((1,0,1,-4),(0,1,0,-3),(1,1,1,-3),(1,-1,1,-1))$
dopo aver trovato $Im((varalpha))$ devo trovare
$varbeta(Im(varalpha))$, non so come procedere...
vi ringrazio a tutti e vi auguro buone feste
es 1---
$varphi ((sqrt(3),0,0,1),(0,sqrt(3),0,1),(0,0,sqrt(3),1),(-1,-1,-1,-sqrt(3)))$
data questa trasf da $v4(R)->v4(R)$ devo calcolarmi alcune cose, vedi rango nullità im(/varphi) etc...
ilmio dubbio è qui, calcolare:
$dim((Im(varphi)nn ker(varphi))$.
Ecco il mio procedimento che dovrebbe esser giusto.
Riscrivo il vettore generico dell'immagine come---> $((sqrt(3)p),(sqrt(3)r),(sqrt(3)z),(-p -r -z))$ $(x1,x2,x3,x4)$
Ogni componente del vettore generico quindi la sostituisco nel ker
Ker($varphi$) ${((sqrt(3)x1 + sqrt(3)x2 +sqrt(3)x3 + x4=0),(sqrt(3)x2 +x4=0),(sqrt(3)x3+x4=0))}$
e ottengo ${((0=0),(2r-p-z=0),(3z-p-r=0))}$
solo una delle 3eq è verificata quindi la dimensione dell intersezione è 1 ? oppure visto che non sono verificate tutte e 3 l'intersezione è nulla?
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es 2
Sia $varalpha$ una trasfl da $v3R-->v4R$ e $varbeta$:$v4R->v4R$ rappresentate da
$varalpha$ $((-1,1,0),(1,1,2),(1,1,2),(0,1,1))$
$varbeta$ $((1,0,1,-4),(0,1,0,-3),(1,1,1,-3),(1,-1,1,-1))$
dopo aver trovato $Im((varalpha))$ devo trovare
$varbeta(Im(varalpha))$, non so come procedere...
vi ringrazio a tutti e vi auguro buone feste
Risposte
Le tue notazioni sono difficilmente comprensibili. In ogni modo:
$Ker(varphi): ((sqrt(3),0,0,1),(0,sqrt(3),0,1),(0,0,sqrt(3),1),(-1,-1,-1,-sqrt(3)))((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=((0),(0),(0),(0)) rarr \{(x_1=t),(x_2=t),(x_3=t),(x_4=-sqrt3t):}$
$Im(varphi): det((sqrt(3),0,0,x_1),(0,sqrt(3),0,x_2),(0,0,sqrt(3),x_3),(-1,-1,-1,x_4))=0$
$[dim(Im(varphi)nn ker(varphi))=1] harr [det((sqrt(3),0,0,t),(0,sqrt(3),0,t),(0,0,sqrt(3),t),(-1,-1,-1,-sqrt3t))=0 rarr AAtinRR]$
$[dim(Im(varphi)nn ker(varphi))=0] harr [det((sqrt(3),0,0,t),(0,sqrt(3),0,t),(0,0,sqrt(3),t),(-1,-1,-1,-sqrt3t))=0 rarr t=0]$
Poichè:
$[det((sqrt(3),0,0,t),(0,sqrt(3),0,t),(0,0,sqrt(3),t),(-1,-1,-1,-sqrt3t))=t*det((sqrt(3),0,0,1),(0,sqrt(3),0,1),(0,0,sqrt(3),1),(-1,-1,-1,-sqrt3))] ^^ [det((sqrt(3),0,0,1),(0,sqrt(3),0,1),(0,0,sqrt(3),1),(-1,-1,-1,-sqrt3))=0]$
essendo l'ultima matrice proprio quella che rappresenta la trasformazione lineare in esame, evidentemente non iniettiva, si ha $[AAtinRR]$ e quindi $[dim(Im(varphi)nn ker(varphi))=1]$.
$Ker(varphi): ((sqrt(3),0,0,1),(0,sqrt(3),0,1),(0,0,sqrt(3),1),(-1,-1,-1,-sqrt(3)))((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=((0),(0),(0),(0)) rarr \{(x_1=t),(x_2=t),(x_3=t),(x_4=-sqrt3t):}$
$Im(varphi): det((sqrt(3),0,0,x_1),(0,sqrt(3),0,x_2),(0,0,sqrt(3),x_3),(-1,-1,-1,x_4))=0$
$[dim(Im(varphi)nn ker(varphi))=1] harr [det((sqrt(3),0,0,t),(0,sqrt(3),0,t),(0,0,sqrt(3),t),(-1,-1,-1,-sqrt3t))=0 rarr AAtinRR]$
$[dim(Im(varphi)nn ker(varphi))=0] harr [det((sqrt(3),0,0,t),(0,sqrt(3),0,t),(0,0,sqrt(3),t),(-1,-1,-1,-sqrt3t))=0 rarr t=0]$
Poichè:
$[det((sqrt(3),0,0,t),(0,sqrt(3),0,t),(0,0,sqrt(3),t),(-1,-1,-1,-sqrt3t))=t*det((sqrt(3),0,0,1),(0,sqrt(3),0,1),(0,0,sqrt(3),1),(-1,-1,-1,-sqrt3))] ^^ [det((sqrt(3),0,0,1),(0,sqrt(3),0,1),(0,0,sqrt(3),1),(-1,-1,-1,-sqrt3))=0]$
essendo l'ultima matrice proprio quella che rappresenta la trasformazione lineare in esame, evidentemente non iniettiva, si ha $[AAtinRR]$ e quindi $[dim(Im(varphi)nn ker(varphi))=1]$.
Sinceramente non ho capito molto d quello che hai scritto..
Questa è l'equazione parametrica del $[Ker(varphi)]$ di dimensione $[1]$:
Questa è l'equazione cartesiana di $[Im(varphi)]$ di dimensione $[3]$:
Se il $[Ker(varphi)]$ è contenuto in $[Im(varphi)]$, allora l'equazione cartesiana di $[Im(varphi]$ deve essere soddisfatta per ogni vettore appartenente al $[Ker(varphi)]$:
Se il $[Ker(varphi)]$ non è contenuto in $[Im(varphi)]$, allora l'equazione cartesiana di $[Im(varphi]$ deve essere soddisfatta dal solo vettore nullo:
L'ultima considerazione è giustificata dal fatto che, non essendo la trasformazione lineare iniettiva, il determinante della matrice che la rappresenta deve essere nullo.
In effetti, ho utilizzato un procedimento piuttosto sintetico. In ogni modo, dovresti avere almeno un'idea di quello che ho scritto. Anche perchè, al di là delle notazioni, il tuo procedimento mi sembrava equivalente.
"speculor":
$Ker(varphi): ((sqrt(3),0,0,1),(0,sqrt(3),0,1),(0,0,sqrt(3),1),(-1,-1,-1,-sqrt(3)))((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=((0),(0),(0),(0)) rarr \{(x_1=t),(x_2=t),(x_3=t),(x_4=-sqrt3t):}$
Questa è l'equazione cartesiana di $[Im(varphi)]$ di dimensione $[3]$:
"speculor":
$Im(varphi): det((sqrt(3),0,0,x_1),(0,sqrt(3),0,x_2),(0,0,sqrt(3),x_3),(-1,-1,-1,x_4))=0$
Se il $[Ker(varphi)]$ è contenuto in $[Im(varphi)]$, allora l'equazione cartesiana di $[Im(varphi]$ deve essere soddisfatta per ogni vettore appartenente al $[Ker(varphi)]$:
"speculor":
$[dim(Im(varphi)nn ker(varphi))=1] harr [det((sqrt(3),0,0,t),(0,sqrt(3),0,t),(0,0,sqrt(3),t),(-1,-1,-1,-sqrt3t))=0 rarr AAtinRR]$
Se il $[Ker(varphi)]$ non è contenuto in $[Im(varphi)]$, allora l'equazione cartesiana di $[Im(varphi]$ deve essere soddisfatta dal solo vettore nullo:
"speculor":
$[dim(Im(varphi)nn ker(varphi))=0] harr [det((sqrt(3),0,0,t),(0,sqrt(3),0,t),(0,0,sqrt(3),t),(-1,-1,-1,-sqrt3t))=0 rarr t=0]$
L'ultima considerazione è giustificata dal fatto che, non essendo la trasformazione lineare iniettiva, il determinante della matrice che la rappresenta deve essere nullo.
"speculor":
$[det((sqrt(3),0,0,t),(0,sqrt(3),0,t),(0,0,sqrt(3),t),(-1,-1,-1,-sqrt3t))=t*det((sqrt(3),0,0,1),(0,sqrt(3),0,1),(0,0,sqrt(3),1),(-1,-1,-1,-sqrt3))] ^^ [det((sqrt(3),0,0,1),(0,sqrt(3),0,1),(0,0,sqrt(3),1),(-1,-1,-1,-sqrt3))=0]$
In effetti, ho utilizzato un procedimento piuttosto sintetico. In ogni modo, dovresti avere almeno un'idea di quello che ho scritto. Anche perchè, al di là delle notazioni, il tuo procedimento mi sembrava equivalente.
Si è vero, dopo un caffe, ho ricompreso meglio il tutto. Io facevo al contrario, usavo il ker in cartesiana e la Im in parametrica. Non capisco una cosa ,mi stai dicendo quindi che l'intersezione è uguale a 1 sse sono verificate tutte le equazioni del ker, mentre è =0 in quale caso? Solo nel caso in cui il vettore generico (parlando del mio metodo) sia un vettore nullo?
Il tuo procedimento è più involuto. Visto che $[Ker(varphi)]$ ha dimensione $[1]$ e $[Im(varphi)]$ ha dimensione $[3]$, ti semplifichi la vita andando a sostituire un generico vettore espresso in forma parametrica di $[Ker(varphi)]$ nell'equazione cartesiana di $[Im(varphi)]$. Per questo motivo chiarisco solo questo procedimento, il tuo è inutilmente appesantito. Delle due l'una: i due sottospazi non si intersecano se non nel vettore nullo, l'equazione cartesiana ottenuta uguagliando a zero quel determinante deve essere soddisfatta solo per $[t=0]$, i due sottospazi si intersecano al di là del vettore nullo e allora $[Ker(varphi)]$ è interamente contenuto in $[Im(varphi)]$, quella stessa equazione cartesiana deve essere soddisfatta $[AAtinRR]$.
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