Insiemi compatti negli spazi topologici
Salve a tutti volevo sapere solo la seguente cosa:
In un generico spazio topologico $\X$ (non per forza compatto) se gli $\A_k$ sono dei sottinsiemi compatti di $\X$ la loro intersezione (finita o infinita) è ancora un insieme compatto?
Grazie a tutti ciao
In un generico spazio topologico $\X$ (non per forza compatto) se gli $\A_k$ sono dei sottinsiemi compatti di $\X$ la loro intersezione (finita o infinita) è ancora un insieme compatto?
Grazie a tutti ciao
Risposte
Se $A_k$ è compatto allora ammette copertura finita. In particolare $A_1$ è compatto $nnA_k\sub A_1$. Da questo cosa deduci?
Interessante se $nnA_k!=\O$. Domanda interessante è chiedersi quando questo succede
Interessante se $nnA_k!=\O$. Domanda interessante è chiedersi quando questo succede
Però così, a primo impatto, io direi che è ovvio se $X$ è di Hausdorff e quindi gli $A_k$ sono chiusi ($nnA_k\subA_1$ è chiuso in un compatto). E se questo non succede, che si fa? (non ci ho riflettuto per nulla a dire la verità)
esatto, se X non è di Hausdorff non è detto che gli $\A_k$ siano chiusi e in generale non è vero che un sottoinsieme di un compatto sia un compatto
Pensando a come metterla giù semplice mi è venuta in mente questa strada, a voi la correzione di eventuali errori o cavolate colossali
Ricordiamoci questa definizione equivalente di compattezza (che si dimostra essere equivalente alla definizione con le coperture "passando ai complementari"):
--------------------------------------------------
Diciamo che un famiglia di chiusi ${C_j}_{j\inJ}$ di uno spazio topologico $X$ ha la FIP (finite intersection
property) se $AA J_0\sub J,|J_0|<+oo\=>\nn_{j\in J_0}C_j!=\emptyset$.
Diciamo che $X$ ha la FIP se ogni sua famiglia di chiusi con la FIP ha intersezione non vuota.
Allora $X$ è compatto se e solo se ha la FIP.
-------------------------------------------------
Quindi sia ${A_k}_{k\inK}$ una famiglia di compatti. Ognuno di essi ha la FIP. Sia $A=nn_k A_k$. Se $A=\emptyset$ abbiamo finito.
Supponiamo $A!=\emptyset$.
Sia ${C_j}_{j\inJ}$ una famiglia di chiusi di $A$. Allora ${C_j}_{j\inJ}\sub A_k,AAk\in K$.
Supponiamo che ${C_j}_{j\inJ}$ ha la FIP ($AA J_0\sub J,|J_0|<+oo\=>\nn_{j\in J_0}C_j!=\emptyset$).
Essendo $A_k$ compatto si ha che $nn_{j\in J} C_j!=\emptyset$, (dalla definizione $A_k$ è compatto sse ogni sua famiglia di chiusi con la FIP ha intersezione non vuota).
Questo vale per ogni famiglia di chiusi con la FIP nell'intersezione essendo che ogni famiglia di chiusi sta in ogni compatto.
Concludiamo che ogni famglia di chiusi in $A$ avente la FIP ha intersezione non vuota, cioè $A$ è compatto.
Ricordiamoci questa definizione equivalente di compattezza (che si dimostra essere equivalente alla definizione con le coperture "passando ai complementari"):
--------------------------------------------------
Diciamo che un famiglia di chiusi ${C_j}_{j\inJ}$ di uno spazio topologico $X$ ha la FIP (finite intersection
property) se $AA J_0\sub J,|J_0|<+oo\=>\nn_{j\in J_0}C_j!=\emptyset$.
Diciamo che $X$ ha la FIP se ogni sua famiglia di chiusi con la FIP ha intersezione non vuota.
Allora $X$ è compatto se e solo se ha la FIP.
-------------------------------------------------
Quindi sia ${A_k}_{k\inK}$ una famiglia di compatti. Ognuno di essi ha la FIP. Sia $A=nn_k A_k$. Se $A=\emptyset$ abbiamo finito.
Supponiamo $A!=\emptyset$.
Sia ${C_j}_{j\inJ}$ una famiglia di chiusi di $A$. Allora ${C_j}_{j\inJ}\sub A_k,AAk\in K$.
Supponiamo che ${C_j}_{j\inJ}$ ha la FIP ($AA J_0\sub J,|J_0|<+oo\=>\nn_{j\in J_0}C_j!=\emptyset$).
Essendo $A_k$ compatto si ha che $nn_{j\in J} C_j!=\emptyset$, (dalla definizione $A_k$ è compatto sse ogni sua famiglia di chiusi con la FIP ha intersezione non vuota).
Questo vale per ogni famiglia di chiusi con la FIP nell'intersezione essendo che ogni famiglia di chiusi sta in ogni compatto.
Concludiamo che ogni famglia di chiusi in $A$ avente la FIP ha intersezione non vuota, cioè $A$ è compatto.
"fu^2":
Ps al posto dell'insieme vuoto a me visualizza una O, spero si capisca ugualmente.
$"insieme vuoto"=\emptyset$.
grazie, ora ho editato ed è più leggibile.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo