Insiemi compatti
Dato uno spazio metrico $(X, d)$, si ha che
1) $X$ è compatto se e solo se da ogni successione a valori in $X$ è possibile estrarre una sottosuccessione convergente ad un elemento di $X$
2) $X$ è compatto se e solo se da ogni ricoprimento aperto è possibile estrarre un ricoprimento finito
e ovviamente le due definizioni sono equivalenti. Ora io mi chiedevo una cosa... la prima definizione parla di convergenza, pertanto, dato l'insieme $X$, deve essere definita una metrica. La seconda invece parla solo di aperti, e per parlare di aperti basta una topologia...
Quello che vorrei chiedere è, dato uno spazio topologico $(X, \tau)$, supponendo che la topologia non sia indotta da una metrica, ha senso chiedersi se un sottoinsieme di $X$ è compatto, facendo uso della definizione 2)?
Spero si capisca la domanda, da che mi rendo conto di essermi spiegato come un cane (con tutto il rispetto per la categoria
).
1) $X$ è compatto se e solo se da ogni successione a valori in $X$ è possibile estrarre una sottosuccessione convergente ad un elemento di $X$
2) $X$ è compatto se e solo se da ogni ricoprimento aperto è possibile estrarre un ricoprimento finito
e ovviamente le due definizioni sono equivalenti. Ora io mi chiedevo una cosa... la prima definizione parla di convergenza, pertanto, dato l'insieme $X$, deve essere definita una metrica. La seconda invece parla solo di aperti, e per parlare di aperti basta una topologia...
Quello che vorrei chiedere è, dato uno spazio topologico $(X, \tau)$, supponendo che la topologia non sia indotta da una metrica, ha senso chiedersi se un sottoinsieme di $X$ è compatto, facendo uso della definizione 2)?
Spero si capisca la domanda, da che mi rendo conto di essermi spiegato come un cane (con tutto il rispetto per la categoria
).
Risposte
La domanda è chiarissima.
La risposta è lapidaria: yes, absolutely!
La 1) altri non è che la compattezza per successioni, valida per gli spazi metrici.
La 2), la compattezza per ricoprimenti, come dici tu stesso, è valida in generale come definizione di compattezza per uno spazio topologico qualsiasi.
Notare che alcuni autori chiamano in generale uno spazio topologico quasi-compatto se soddisfa la 2), riservando il termine compatto per gli spazi topologici, che oltre a soddisfare la 2), sono anche di Hausdorff (e quindi anche per gli spazi metrici, che sono spazi topologici di Hausdorff).
La risposta è lapidaria: yes, absolutely!
La 1) altri non è che la compattezza per successioni, valida per gli spazi metrici.
La 2), la compattezza per ricoprimenti, come dici tu stesso, è valida in generale come definizione di compattezza per uno spazio topologico qualsiasi.
Notare che alcuni autori chiamano in generale uno spazio topologico quasi-compatto se soddisfa la 2), riservando il termine compatto per gli spazi topologici, che oltre a soddisfare la 2), sono anche di Hausdorff (e quindi anche per gli spazi metrici, che sono spazi topologici di Hausdorff).
Il mio cane sulle prime si è offeso, ma facendogli leggere l'apprezzamento di amel sono riuscito a convincerlo che il tuo era un riferimento "in positivo".
Almeno spero di averlo convinto, perché ho l'impressione che mi stia guardando in cagnesco
Almeno spero di averlo convinto, perché ho l'impressione che mi stia guardando in cagnesco
"Fioravante Patrone":
Il mio cane sulle prime si è offeso, ma facendogli leggere l'apprezzamento di amel sono riuscito a convincerlo che il tuo era un riferimento "in positivo".
Almeno spero di averlo convinto, perché ho l'impressione che mi stia guardando in cagnesco
A questo punto ti devi bannare da te...
Ci sono un'infinità di modi in cui potrei rispondere: "sì", "assolutamente sì", "certo", "indubbiamente", "sicuro", "ci puoi scommettere", "sicuro come l'oro", ...
Volevo rimarcarlo semplicemente perché essendo io immerso fino al collo nel meraviglioso mondo della topologia algebrica, ho sviluppato l'idea che la nozione di compattezza negli spazi metrici è molto, molto, molto particolare
Per inciso, comunque, parlare di convergenza non implica la presenza di una metrica, ma casomai della proprietà T2, "Hausdorff", che assicura l'unicità del limite. Ma se non sbaglio, l'equivalenza tra "sequenzialmente compatto" e "compatto" in generale non vale che per spazi metrici (ma potrei sbagliare).
Volevo rimarcarlo semplicemente perché essendo io immerso fino al collo nel meraviglioso mondo della topologia algebrica, ho sviluppato l'idea che la nozione di compattezza negli spazi metrici è molto, molto, molto particolare
Per inciso, comunque, parlare di convergenza non implica la presenza di una metrica, ma casomai della proprietà T2, "Hausdorff", che assicura l'unicità del limite. Ma se non sbaglio, l'equivalenza tra "sequenzialmente compatto" e "compatto" in generale non vale che per spazi metrici (ma potrei sbagliare).
Ok, grazie a tutti. 
"Martino":
Per inciso, comunque, parlare di convergenza non implica la presenza di una metrica, ma casomai della proprietà T2, "Hausdorff", che assicura l'unicità del limite.
Certo. Non va dimenticato però che, normalmente, sapere chi siano le successioni convergenti e a cosa convergano non basta per caratterizzare la topologia.
Vedi: https://www.matematicamente.it/forum/-vp82407.html#82407
"Martino":
Ma se non sbaglio, l'equivalenza tra "sequenzialmente compatto" e "compatto" in generale non vale che per spazi metrici (ma potrei sbagliare).
Credo che valga anche per classi un po' più ampie di spazi topologici, ma non ho una risposta precisa da dare, hic et nunc. E' una tematica similare al problema della differenza fra "chiuso" e "sequenzialmente chiuso" che Tipper ricorderà, essendo stato trattato in un thread precedente:
https://www.matematicamente.it/forum/-vp ... tml#190786
Comunque suggerirei a Tipper di preoccuparsi di comprendere bene quello che avviene a livello di spazi metrici e di limitare a farsi un nodo al fazzoletto per ricordarsi che non tutto si estende al caso più generale degli spazi topologici.
Ciao a tutti,
una sola precisazione: le nozioni di compattezza sequenziale e compattezza topologica sono equivalenti (come ha detto Martino) per esempio in spazi metrici ma non in generale; però a me risulta che la prima ha significato più generale della seconda nel senso che mentre per la seconda vi è bisogno di una topologia che automaticamente definisce una convergenza, la prima ha bisogno solo di una convergenza e, quindi, vale in spazi più generali, i cosiddetti sequenziali che non sono necessariamente topologici.
una sola precisazione: le nozioni di compattezza sequenziale e compattezza topologica sono equivalenti (come ha detto Martino) per esempio in spazi metrici ma non in generale; però a me risulta che la prima ha significato più generale della seconda nel senso che mentre per la seconda vi è bisogno di una topologia che automaticamente definisce una convergenza, la prima ha bisogno solo di una convergenza e, quindi, vale in spazi più generali, i cosiddetti sequenziali che non sono necessariamente topologici.
"Fioravante Patrone":
Comunque suggerirei a Tipper di preoccuparsi di comprendere bene quello che avviene a livello di spazi metrici e di limitare a farsi un nodo al fazzoletto per ricordarsi che non tutto si estende al caso più generale degli spazi topologici.
Credo proprio di dover seguire il tuo consiglio, non foss'altro che io di spazi topologici non so nulla, solo la definizione... Questa era solo una curiosità, nient'altro.
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