Insieme non finitamente generato

[Mr.Mazzarr]

So che un spazio vettoriale è finitamente generato se contiene un insieme di generatori finito, ho bisogno invece di info su uno spazio vettoriale che non è finitamente generato.

Quando è che uno spazio vettoriale si dice non finitamente generato?
Un esempio quale può essere?

[kondor1]

non è finitamente generato quando non sussiste che è finitamente generato, ovvero non esiste nessun sistema finito di vettori che genera lo spazio vettoriale.

Un esempio è $\mathbb{K}[x]$, insieme dei polinomi su $\mathbb{K}$ nell'indeterminata $x$. Infatti qualunque sistema tu prenda $S=[f_1,...,f_m]$ con $f_i \in \mathbb{K}[x]$ , detto $t$ il massimo grado tra i polinomi di $S$ non puoi generare polinomi di grado $s>t$.

[Mr.Mazzarr]

Ecco, aiutami per favore a capire.
Il fatto che non sia finitamente generato, può voler dire in qualche modo che è uno spazio vettoriale privo di basi e quindi dimensioni? Se non ha insiemi di generatori finiti, e la base è ogni insieme di generatore linearmente indipendente..

[kondor1]

Più o meno.
La base esiste, ma non esiste finita e pertanto anche la dimensione dello spazio vettoriale si assume come infinita(per definizione di dimensione dello spazio vettoriale che coincide con la cardinalità delle sue basi).

[garnak.olegovitc1]

@Mr.Mazzarr,
se sai cos'è la cardinalità di un insieme hai detto/fatto tutto!
Saluti

[Mr.Mazzarr]

"kondor":Più o meno.
La base esiste, ma non esiste finita e pertanto anche la dimensione dello spazio vettoriale si assume come infinita(per definizione di dimensione dello spazio vettoriale che coincide con la cardinalità delle sue basi).

Ecco, ora credo di aver capito.

$K[x]$ non è finitamente generato, $Kn[x]$ lo è. La dimensione del primo spazio vettoriale è infinito, del secondo è $n$.
In quanto nel primo non posso prendere un sistema tale che la sua dimensione sia finita ed uguale alla dimensione dello spazio, nel secondo esiste una base finita di dimensione pari ad $n$.

[kondor1]

"Mr.Mazzarr":
[..]In quanto nel primo non posso prendere un sistema tale che la sua dimensione sia finita ed uguale alla dimensione dello spazio

Ancora più o meno.

Non ho capito che vuoi dire, o meglio credo che tu faccia confusione.

Puoi parlare di dimensione dello spazio vettoriale solo conoscendo la cardinalità delle sue basi.
La spiegazione è che se basi finite non ce ne sono, allora lo spazio non è finito-dimensionale.
Il fatto che non ci siano basi finite lo verifichi direttamente notando che non esiste un sistema finito di vettori linearmente indipendenti tale da generare $\mathbb{K}[x]$, ovvero tramite definizione, e non ricercando sistemi di generatori con cardinalità pari alla dimensione dello spazio che, ti ripeto, non è data sapere a priori.

[Mr.Mazzarr]

Ah okok, ora ci siamo

[Mr.Mazzarr]

"kondor":non è finitamente generato quando non sussiste che è finitamente generato, ovvero non esiste nessun sistema finito di vettori che genera lo spazio vettoriale.

Un esempio è $\mathbb{K}[x]$, insieme dei polinomi su $\mathbb{K}$ nell'indeterminata $x$. Infatti qualunque sistema tu prenda $S=[f_1,...,f_m]$ con $f_i \in \mathbb{K}[x]$ , detto $t$ il massimo grado tra i polinomi di $S$ non puoi generare polinomi di grado $s>t$.

Riuppo per una domanda..

$Kn[x]$ è l'insieme dei polinomi nell'indeterminata x con grado minore o uguale ad $n$.
$K[x]$ è l'insieme dei polinomi nell'indeterminata x.

Il secondo non è finitamente generato in quanto qualsiasi grado consideri, ci sarà sempre un polinomio di grado superiore. No?

[killing_buddha]

Si'. Se supponi ci sia una base finita, esiste nell'insieme di quei vettori un polinomio di grado massimo, e allora puoi ottenere al massimo polinomi di quel grado mediante le operazioni che ti consente uno spazio vettoriale. Detto in altri termini, \(K[x]\stackrel{{\bf Vect}}{\cong}\bigoplus_{n=1}^\infty K\).

[christian.schmid57]

scusatemi ma non capisco.. mi sembra ovvio che un polinomio di secondo grado non può essere generato da una base che è formata da polinomi di grado inferiore... cioè se ho una base finita di polinomi essa genera sempre e comunque uno spazio finito di polinomi poiché spazi di dimensione superiore non ne può creare .. perché la base non può essere finita allora? se io voglio avere una base finita posso tranquillamente no?