Insieme di vettori ortogonali

[chris93]

Salve a tutti, ho finalmente cominciato anche io la carriera universitaria e chiedo subito il vostro aiuto per la risoluzione di un esercizio banale ma di cui mi sfugge qualcosa...

Esercizio: Si determini l'insieme dei vettori $RR^3$, ortogonali a $v=((2),(0),(1))$.

Risoluzione:

Sia $x=((x_1),(x_2),(x_3))|v*x=0$ , avremo quindi che $((x_1),(x_2),(x_3))*((2),(0),(1))=0$ e da qui ricavo l'equazione
$2x_1 + x_3=0$ e quindi le soluzioni dell'equazione formano l'insieme cercato..

Il problema ora sta nel fatto che non so come cercare la soluzione nella forma: $<<$$((1),(0),(-2)),((0),(1),(0))$$>>$
perchè andando a risolvere l'equazione trovo che: $x_1=(-x_3)/(2)$ da cui intuitivamente posso trovare il primo vettore dell'insieme cercato, ma il secondo? Quale procedimento sto dimenticando?

[ciampax]

Il fatto che $2x_1+x_3=0$ implica xhe $x_3=-2x_1$ e che $x_2$ varia liberamente. I vettori ortogonali a quello dato avranno allora la forma generale $(\alpha,\beta,-2\alpha)$ per $\alpha,\beta\in RR$. A questo punto basta scegliere $\alpha=1,\beta=0$ una volta e $\alpha=0,\beta=1$ la seconda. Ma ve lo spiegano che qualsiasi base di $n$ elementi si può mettere sempre in corrispondenza con la base canonica di $RR^n$?

[chris93]

Ok, grazie mille ciampax, non avevo assolutamente pensato alla corrispondenza con la base canonica, l'esercizio ora mi è perfettamente chiaro! Probabilmente sono stato io a non essere stato molto attento ed ho perso questo passaggio. Grazie ancora.

[ciampax]

Prego.