Insieme di Cantor ed Omeomorfismi

[lordb]

Ciao a tutti,
sapete dove posso trovare la dimostrazione del seguente fatto:

Sia $C$ l'insieme di Cantor, allora $C$ è omeomorfo a $C × C$.

[perplesso1]

Non ti so indicare un riferimento, provo a suggerirti una dimostrazione di cui non ti assicuro la correttezza.

L'insieme di Cantor è omeomorfo a $2^NN$ il prodotto di una infinità numerabile di copie di ${0,1}$ o equivalentemente le applicazioni di $NN$ in ${0,1}$. Quindi ti basta dimostrare che $2^NN \cong 2^NN xx 2^NN$. Io ho pensato alla funzione $F: (f,g) \in 2^NN xx 2^NN -> h \in 2^NN$ tale che $h(n) = f(n/2)$ se $n$ è pari e $h(n) = g({n-1}/2)$ se $n$ è dispari. $F$ è biettiva. Per verificare la continuità considera che gli insiemi della forma $A_n = {h \in 2^NN | h(n)=0}$ e $B_n = {h \in 2^NN | h(n)=1}$ costituiscono una sottobase di $2^NN$. Quindi se $n$ è pari $F^{-1} (A_n) = A_{n/2} xx 2^NN$ mentre $F^{-1} (B_n) = B_{n/2} xx 2^NN$. Se invece $n$ è dispari $F^{-1} (A_n) = 2^NN xx A_{{n-1}/2}$ mentre $F^{-1} (B_n) = 2^NN xx B_{{n-1}/2}$. Infine notiamo che $F$ è una mappa aperta infatti presi due elementi della sottobase, diciamo $A_n$ e $B_m$ (gli altri casi sono analoghi), si ha $F(A_n xx B_m) = A_{2n} \cap B_{2m+1}$ che è aperto in $2^NN$.

[lordb]

Grazie