Insieme denso in sé e perfetto
Ciao, amici! Vorrei chiedere che cosa significa che un insieme di punti è chiuso e denso in sé, cioè perfetto. Suppongo che si tratti di una terminologia obsoleta perché non trovo nulla a riguardo in rete.
Il contesto in cui trovo quest'espressione sono i Fondamenti della Geometria in cui Hilbert dice
$\infty$ grazie a tutti!!!
Il contesto in cui trovo quest'espressione sono i Fondamenti della Geometria in cui Hilbert dice
Se \(K^{\ast}\) è un punto di accumulazione dei punti della vera circonferenza $\kappa$, per l'assioma terzo esso appartiene ancora alla vera circonferenza $\kappa$. Se $K_1$ indica un qualsiasi punto della vera circonferenza $\kappa$, ne segue che, se eseguiamo quella rotazione intorno a $M$ che porta \(K^{\ast}\) in $K_1$, anche $K_1$ è un punto di accumulazione di punti della vera circonferenza $\kappa$. Otteniamo quindi il teorema:
La vera circonferenza $\kappa$ è un insieme di punti chiuso e denso in sé, cioè perfetto.
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
Non mi risulta sia una terminologia obsoleta, si tratta di termini usati in Topologia. Per dirti altro dovrei sapere un po' più sul contesto (immagino ci troviamo nel piano o nello spazio reali, con la topologia euclidea, ma non si sa mai; soprattutto non ho idea del perché si parli di vera circonferenza) e sulle tue conoscenze topologiche (se il contesto è quello che credo vanno bene anche le nozioni di topologia che si assimilano studiando Analisi reale). Comunque è solo l'espressione di una proprietà topologica della (vera?) circonferenza, se non sei interessato a questioni topologiche penso tu possa sorvolare senza precludere granché.
"Epimenide93":Direi proprio di sì: è lo stesso contesto di qui.
Per dirti altro dovrei sapere un po' più sul contesto (immagino ci troviamo nel piano o nello spazio reali, con la topologia euclidea
"Epimenide93":Hilbert definisce così l'insieme di tutte le immagini di un solo punto $K$ attraverso tutte le rotazioni del gruppo delle rotazioni intorno a $M\ne K$.
non ho idea del perché si parli di vera circonferenza
Le rotazioni sono definite assiomaticamente nel seguente modo.
Un movimento è definito come una trasformazione continua (nel senso che intendiamo oggi, spero) biunivoca dei punti immagine [attraverso una carta di un atlante di una "cosa" definita piano che usando un po' di intuito filologico mi sembra essere una varietà topologica] del piano numerico in sé tale che per essa il verso di una curva chiusa di Jordan rimane sempre inalterato e tale inoltre che i movimenti formino un gruppo.
Una rotazione intorno a $K$ è definita come un movimento che lascia fermo il punto $K$ e tale che ogni vera circonferenza, cioè l'insieme delle immagini di un punto $K$ attraverso tutte le rotazioni appartenenti gruppo dei movimenti -un sottogruppo, quindi-, consista di infiniti punti.
"Epimenide93":Di topologia ho studiato il Sernesi, Geometria 2, in cui non ho mai trovato che un sottoinsieme possa essere denso in sé. Il capitolo è fondamentalmente basato su una trattazione topologica di come si possa costruire partendo da alcuni assiomi la geometria piana euclidea o iperbolica.
sulle tue conoscenze topologiche (se il contesto è quello che credo vanno bene anche le nozioni di topologia che si assimilano studiando Analisi reale). Comunque è solo l'espressione di una proprietà topologica della (vera?) circonferenza, se non sei interessato a questioni topologiche penso tu possa sorvolare senza precludere granché.
$\infty$ grazie di tutto!!!
Ok, quindi sai che un sottospazio $A \subset X$ è denso in uno spazio $X$ se la sua chiusura $\bar{A} = X$ è tutto lo spazio. Negli spazi metrici[nota]ed in spazi non particolarmente rognosi, ma in Topologia bisogna andarci coi piedi di piombo[/nota] ciò equivale a dire che: un sottospazio $A \subseteq X$ è denso in uno spazio $X$ se ogni punto di $X$ è aderente ad $A$. Usando questa seconda definizione[nota]tendenzialmente usata in contesti analitici.[/nota] (che nelle ipotesi di non-rognosità da me mal introdotte è equivalente alla prima[nota]tendenzialmente usata in contesti topologici.[/nota] quando si considerano sottospazi propri) si ha che uno spazio è denso in sé se ogni suo punto è di accumulazione per lo spazio (i.e. non contiene punti isolati). Uno spazio chiuso e denso in sé si dice perfetto.
EDIT: corretto un grosso errore, grazie a DavideGenova per la segnalazione.
EDIT: corretto un grosso errore, grazie a DavideGenova per la segnalazione.
Non sai quanto ti sono grato per questo chiarimento. 
Finalmente comincio ad intravedere qualcosa tra la nebbia.
Finalmente comincio ad intravedere qualcosa tra la nebbia.
"DavideGenova":
Non sai quanto ti sono grato per questo chiarimento.
Lieto di essere stato utile
[ot]Certo che ti sei scelto proprio un testo da niente da studiare, eh
i miei complimenti.Buon lavoro![/ot]
Resto un po' dubbioso sul "denso in sé". Con le definizioni moderne, tutto è denso in sé: ad esempio, il sottoinsieme $\mathbb{Z}$ dello spazio topologico $\mathbb[Z}$ è denso. Hilbert direbbe che questo insieme è perfetto...? Mah.
Dal mio punto di vista (incompleto, tanto più che non ho mai letto qualcosa dell'era pre-Bourbaki) non si tratta tanto di antico e moderno, quanto di una questione di convenzioni/scelte/contesti (un po' come per la compatteza topologica/per successioni, o per "punto di accumulazione", della cui definizione parlavi in un altro topic, in cui immagino alludessi alla differenza che c'è nella letteratura inglese tra i vari tipi di limit point, che si perde totalmente in italiano). Per trovare la terminologia "denso in sé" e "perfetto" non c'è bisogno di andare indietro fino ad Hilbert, ho davanti Rudin - Principles of Mathematical Analysis terza edizione e a p.32 dà le definizioni di "densità" e di "insieme perfetto" che ho dato nel mio intervento. Inoltre, sebbene la densità in senso topologico abbia una connotazione più generale, la terminologia (che in effetti è ambigua) mi pare sia rimasta anche in contesti più ampi (link1, link2). Dal mio punto di vista (ergo, totalmente opinabile) la terminologia è più diffusa in contesti analitici, però non mi pare sia stata abbandonata.
Va bene, ma allora cosa vuol dire "denso in sé"? L'unica definizione che trovo in questo thread è quella con la chiusura, che come dicevo non credo sia corretta perché è banale.
Scusa, ma non ti seguo.
Poi, come ho detto, riconosco che la terminologia è ambigua, ma non è certo raro in matematica.
"Epimenide93":
Un sottospazio $A \subseteq X$ è denso in uno spazio $X$ se ogni punto di $X$ è aderente ad $A$. Usando questa seconda definizione (...) si ha che uno spazio è denso in sé se ogni suo punto è di accumulazione per lo spazio (i.e. non contiene punti isolati). Uno spazio chiuso e denso in sé si dice perfetto.
Poi, come ho detto, riconosco che la terminologia è ambigua, ma non è certo raro in matematica.
Non ho problemi con le terminologie ambigue, figurati. Non capivo perché per me "punto di aderenza" significa dire "elemento della chiusura" e quindi una cosa distinta dal "punto di accumulazione". Lo stesso problema dell'altro thread. Ora pero' è chiaro.
"dissonance":
Non capivo perché per me "punto di aderenza" significa dire "elemento della chiusura" e quindi una cosa distinta dal "punto di accumulazione".
Ah! No, in effetti ero io a non aver capito cosa stavi obiettando. Hai ragione tu. La definizione che ho dato vale comunque solo per sottoinsiemi propri (anch'io uso aderenza nella tua stessa accezione, ma questa cosa mi era sfuggita), per un insieme denso in sé bisogna parlare di accumulazione, perché i punti isolati sono comunque aderenti all'insieme che li contiene. E allora amen, è solo una terminologia infelice, mi scuso per il fraintendimento.
Aggiungo la mia umile opinione, siamo tutti d'accordo con l'affermare che (in un fissato spazio topologico) ogni insieme è denso nella sua chiusura; ma affermare che un insieme chiuso è denso in sé più che errato mi sembra tautologico...
Se la definizione che si accetta di "insieme denso in sé" è quella di "insieme senza punti isolati", che pare essere la più accettata (e l'unica sensata), non è tautologico. \( \mathbb{N} \) con la topologia usuale non è denso in sé, mentre \( \mathbb{Q} \) lo è, ed entrambi sono banalmente chiusi nelle rispettive topologie.
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