Insieme denso

[squalllionheart]

Salve, scusatemi, ho 5 libri di topologia, non scerzo, e nessuno mi da la definizione di insieme denso.
Mi potete illuminare.
C'è chi dice che un insieme è denso se cmq presi due elementi ve ne uno tra i due, altri affermano che preso un elemento allora esiste una successione convergente... Mi date quella in generele.

[Dorian1]

$(X,d)$ spazio metrico, $A sub X$. Si dice che $A$ è denso in $X$ se:

$Cl(A)=X$

cioè se la chiusura di $A$ coincide con $X$.

[@melia]

In uno spazio topologico E si dice "L'insieme T è denso in E se ogni punto di E è aderente a T".
Nel caso in cui $E=RR$ la definizione precedente è coerente con la seguente: T è denso in $RR$ se, per ogni coppia $(a, b)$ di numeri reali con $a

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[Luc@s]

oppure se l'esterno di A è il $\emptyset$

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

A me pare che la definizione più bella sia la seguente: se $X$ è uno spazio topologico e $Y subseteq X$ è un suo sottospazio topologico, si dice che $Y$ è denso in $X$ se $Y$ interseca ogni aperto non vuoto di $X$.

Esempio: in uno spazio banale ogni sottoinsieme non vuoto è denso.
Esempio: in uno spazio discreto $X$ il solo sottoinsieme denso è $X$.
Esempio: la proprietà $T0$ per gli spazi topologici equivale alla seguente: "c'è al più un punto denso".
Esempio: se uno spazio topologico ammette un punto denso allora in esso ogni due aperti non vuoti si intersecano, ovvero ogni aperto non vuoto è denso (quando succede questo lo spazio si dice irriducibile).
Esempio (se conosci la topologia di Zariski): $Spec(ZZ)$ con la topologia di Zariski ammette $(0)$ come punto denso.

[Fioravante Patrone1]

"squalllionheart":Salve, scusatemi, ho 5 libri di topologia, non scerzo, e nessuno mi da la definizione di insieme denso.

Buttali via. Non scherzo.

[gugo82]

Mi associo all'invito di Fioravante.

"Martino":A me pare che la definizione più bella sia la seguente: se $X$ è uno spazio topologico e $Y subseteq X$ è un suo sottospazio topologico, si dice che $Y$ è denso in $X$ se $Y$ interseca ogni aperto non vuoto di $X$.

Questa definizione di densità mi pare si applichi frequentemente nelle dimostrazioni di Analisi Funzionale.

"Martino":Esempio: in uno spazio banale ogni sottoinsieme non vuoto è denso.
Esempio: in uno spazio discreto $X$ il solo sottoinsieme denso è $X$.

Per evitare banalità, aggiungerei che il sostegno dello spazio topologico (in entrambi i casi) ha da avere almeno due punti distinti.