Insieme dei vettori isotropi
Ciao,
l'esercizio chiede di trovare l'insieme dei vettori isotropi di b(forma bilineare simmetrica) la cui matrice è:
[tex]\begin{bmatrix}
1 & -1 & 2 \\
-1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}[/tex]
Tale insieme è caratterizzato dai vettori non nulli di [tex]R^3[/tex] per cui applicati alla forma quadratica questa si annulli.
[tex]q(b): x_1^2 + 2x_2^2 - 2x_1x_2 + 2x_2x_3 + 4x_1x_3[/tex]
Utilizzando vari metodi (Ruffini, raccoglimento parziale, sostituzioni etc ...) non riesco a "scomporre semplicemente" questo polinomio, in modo da poter individuare l'insieme.
Ad esempio [tex]\textbf{v}= (0,0,1)[/tex] andrebbe bene, ma chi mi garantisce che sia il solo dell'insieme?
l'esercizio chiede di trovare l'insieme dei vettori isotropi di b(forma bilineare simmetrica) la cui matrice è:
[tex]\begin{bmatrix}
1 & -1 & 2 \\
-1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}[/tex]
Tale insieme è caratterizzato dai vettori non nulli di [tex]R^3[/tex] per cui applicati alla forma quadratica questa si annulli.
[tex]q(b): x_1^2 + 2x_2^2 - 2x_1x_2 + 2x_2x_3 + 4x_1x_3[/tex]
Utilizzando vari metodi (Ruffini, raccoglimento parziale, sostituzioni etc ...) non riesco a "scomporre semplicemente" questo polinomio, in modo da poter individuare l'insieme.
Ad esempio [tex]\textbf{v}= (0,0,1)[/tex] andrebbe bene, ma chi mi garantisce che sia il solo dell'insieme?
Risposte
Mmm osserva che $x_1=x_3=0$ non ci sono vettori isotropi. Per $x_1=x_2=0,x_3=k$ questi son tutti isotropi.
Anche i vettori della forma $x_1=-4x_3,x_2=0$ sono isotropi.
Se invece supponiamo che $x_i ne 0$ bisogna un po' lavorare sull'espressione di $q$.
Il caso $x_1=x_3$ mi sembra trattabile facilmente.
Per il resto non mi viene comunque un'idea meno contaiola.
Anche i vettori della forma $x_1=-4x_3,x_2=0$ sono isotropi.
Se invece supponiamo che $x_i ne 0$ bisogna un po' lavorare sull'espressione di $q$.
Il caso $x_1=x_3$ mi sembra trattabile facilmente.
Per il resto non mi viene comunque un'idea meno contaiola.
Se [tex]x_2\not=0[/tex] risolvo un'eq di 2°grado in [tex]x_2[/tex] dove mi restano le radici cioè,
[tex]x=\frac{-1 \pm \sqrt{-x_1^2 + x_3^2 - 10x_1x_3}}{2}[/tex]
A parte questo fatto, ponendo rispettivamente [tex]=0 \ x_1, x_2, x_3[/tex], questo non è sufficiente a determinare I. Cioè, chi ti assicura che non ci siano vettori dell'insieme per cui le componenti siano tutte e tre non nulle?
Dato che non riesco a trovare "normalmente" I lo sto cercando trovando i vettori che gli appartengano, ma chi mi garantisce che siano tutti e i soli?
[tex]x=\frac{-1 \pm \sqrt{-x_1^2 + x_3^2 - 10x_1x_3}}{2}[/tex]
A parte questo fatto, ponendo rispettivamente [tex]=0 \ x_1, x_2, x_3[/tex], questo non è sufficiente a determinare I. Cioè, chi ti assicura che non ci siano vettori dell'insieme per cui le componenti siano tutte e tre non nulle?
Dato che non riesco a trovare "normalmente" I lo sto cercando trovando i vettori che gli appartengano, ma chi mi garantisce che siano tutti e i soli?
Ma sei obbligato a scrivere i vettori isotropi rispetto a una base predefinita di $RR^3$?
Se non è espressamente richiesto, io ridurrei tutto a forma canonica e da lì darei la formula caratteristica per i vettori isotropi (non so se mi sono spiegato).
Se hai ancora bisogno, chiedi pure.
Se non è espressamente richiesto, io ridurrei tutto a forma canonica e da lì darei la formula caratteristica per i vettori isotropi (non so se mi sono spiegato).
Se hai ancora bisogno, chiedi pure.
Fattorizzare la
matrice nel prodotto $A^TA$.
E poi, semplicemente, risolvere il sistema lineare omogeneo$A\text{v}=\vec{0}$;
Infatti:
$\text{v}^TB\text{v}=\text{v}^T(A^TA)\text{v}=(\text{v}^TA^T)(A\text{v})=$
$=$ $=\vec{0}-=A\text{v}=\vec{0}$
matrice nel prodotto $A^TA$.
E poi, semplicemente, risolvere il sistema lineare omogeneo$A\text{v}=\vec{0}$;
Infatti:
$\text{v}^TB\text{v}=\text{v}^T(A^TA)\text{v}=(\text{v}^TA^T)(A\text{v})=$
$=
Secondo me, c'è qualcosa che non va.
Stando a quello che dici tu, orazioster, l'insieme dei vettori isotropi sarebbe sempre un sottospazio (il nullspace della matrice A o, se preferisci, l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo). Tuttavia ciò è falso, come si può ben vedere con opportuni controesempi (il primo che mi viene è $ ( ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) ) $ ).
Non è che stai confondendo vettori isotropi con nucleo di una forma bilineare?
Stando a quello che dici tu, orazioster, l'insieme dei vettori isotropi sarebbe sempre un sottospazio (il nullspace della matrice A o, se preferisci, l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo). Tuttavia ciò è falso, come si può ben vedere con opportuni controesempi (il primo che mi viene è $ ( ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) ) $ ).
Non è che stai confondendo vettori isotropi con nucleo di una forma bilineare?
@Paolo: Hai ragione. Infatti la fattorizzazione proposta da orazioster è possibile se e solo se la matrice $B$ è semidefinita positiva (btw, il "solo se" è facile da dimostrare). Nota che $A$ è una specie di "radice quadrata" di $B$: si scrive spesso, infatti, $A=\sqrt{B}$.
uhm...
propongo, se sbaglio ...siamo qui apposta ad imparare! -:
il nucleo della forma bilineare simmetrica $g:VXVrarrK$, $v$ spazio vettoriale costruito sul campo $K$
è lo spazio dei vettori$v$ tali che $g(v,w)=0, AAwinV$;
Un vettore $vinV$ è isotropo
se $g(v,v)=0$.
...ora penso alla fattorizzazione...
propongo, se sbaglio ...siamo qui apposta ad imparare! -:
il nucleo della forma bilineare simmetrica $g:VXVrarrK$, $v$ spazio vettoriale costruito sul campo $K$
è lo spazio dei vettori$v$ tali che $g(v,w)=0, AAwinV$;
Un vettore $vinV$ è isotropo
se $g(v,v)=0$.
...ora penso alla fattorizzazione...
E devo dire la verità, avevo
quella fattorizzazione in mente per altra questione, ed è
uscita giù senza riflettere, pardon.
Ma perchè "semidefinita positiva"?
Una matrice diagonale ad elementi positivi è definita positiva
ed è banalmente fattorizzabile come si considerava -
quella fattorizzazione in mente per altra questione, ed è
uscita giù senza riflettere, pardon.
Ma perchè "semidefinita positiva"?
Una matrice diagonale ad elementi positivi è definita positiva
ed è banalmente fattorizzabile come si considerava -
Si intende che una matrice definita positiva è anche semidefinita positiva.
Right! supponevo...
Rispondendo a Paolo90 ... credo proprio di sì. La matrice della forma è rispetto alla base canonica.
Scusami però non sono sicura di aver capito come mi consigli di fare. Solitamente ricavo la forma quadratica e poi la riscrivo in modo da ricondurmi a un quadrato di trinomio etc ... (se non è chiaro posso fare un esempio)
Puoi spiegarmi un po' così provo ??
Grazie in anticipo!
Scusami però non sono sicura di aver capito come mi consigli di fare. Solitamente ricavo la forma quadratica e poi la riscrivo in modo da ricondurmi a un quadrato di trinomio etc ... (se non è chiaro posso fare un esempio)
Puoi spiegarmi un po' così provo ??
Grazie in anticipo!
Guarda, sono abbastanza di fretta, ma ci provo lo stesso.
L'idea che ti suggerivo io è questa: te la esemplifico su un caso $2 times 2$. Supponi di avere una matrice simmetrica di ordine 2 (associata alla tua forma); ti metti lì, fai i conti e la "diagonalizzi", cioè scrivi la tua forma bilineare in forma canonica. Ad esempio supponi di aver ottenuto (dopo la diagonalizzazione) la matrice che ho scritto qualche post fa: $ ( ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) ) $. Hai quindi che la tua forma si può scrivere (rispetto a una base ortonormale di autovettori) come $phi(z,w) = z_1w_1-z_2w_2$
Quali sono i vettori isotropi? Semplice, sono quei vettori $z=(z_1,z_2)$ di $RR^2$ tali per cui $z_1^2-z_2^2=0 iff z_1^2=z_2^2 iff pm z_1 =z_2$
Quindi l'insieme dei vettori isotropi risulta essere $"Span"(1,1) uu "Span"(-1,1)$; ti faccio osservare che è un'unione di sottospazi e non è un sottospazio.
In estrema sintesi, diagonalizzando la matrice diventa molto semplice dare un'espressione caratteristica dei vettori isotropi, rispetto però a una base diversa (in generale) da quella di partenza.
Ok? Spero di aver reso un po' l'idea.
Perdonami in caso contrario.
L'idea che ti suggerivo io è questa: te la esemplifico su un caso $2 times 2$. Supponi di avere una matrice simmetrica di ordine 2 (associata alla tua forma); ti metti lì, fai i conti e la "diagonalizzi", cioè scrivi la tua forma bilineare in forma canonica. Ad esempio supponi di aver ottenuto (dopo la diagonalizzazione) la matrice che ho scritto qualche post fa: $ ( ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) ) $. Hai quindi che la tua forma si può scrivere (rispetto a una base ortonormale di autovettori) come $phi(z,w) = z_1w_1-z_2w_2$
Quali sono i vettori isotropi? Semplice, sono quei vettori $z=(z_1,z_2)$ di $RR^2$ tali per cui $z_1^2-z_2^2=0 iff z_1^2=z_2^2 iff pm z_1 =z_2$
Quindi l'insieme dei vettori isotropi risulta essere $"Span"(1,1) uu "Span"(-1,1)$; ti faccio osservare che è un'unione di sottospazi e non è un sottospazio.
In estrema sintesi, diagonalizzando la matrice diventa molto semplice dare un'espressione caratteristica dei vettori isotropi, rispetto però a una base diversa (in generale) da quella di partenza.
Ok? Spero di aver reso un po' l'idea.
Perdonami in caso contrario.
Sì, grazie è chiaro. Però non avevevo scelto di procedere in questo modo perché la diagonalizzazione non è agile.
[tex]det(A-\lambda I) = -\lambda^3 + 3\lambda^2 + 4\lambda - 13 = 0[/tex]
Quindi non saprei ... come procedere ???
[tex]det(A-\lambda I) = -\lambda^3 + 3\lambda^2 + 4\lambda - 13 = 0[/tex]
Quindi non saprei ... come procedere ???
Una forma bilineare si può diagonalizzare anche in un altro modo. Forse più lungo ma sicuramente più agevole.
Considera un vettore non isotropo $v$ (puoi sceglierne uno qualsiasi della base canonica) allora $V= \oplus ^(\bot)$
Ripeti la stessa cosa rispetto a $^(\bot)$.
Ovviamente la dimensione ad ogni passaggio calerà di $1$ sino a che non otterrai una decomposizione del tipo $V= \oplus ... \oplus $.
Se scrivi la matrice rispetto a questa base scoprirai che sarà diagonale.
Considera un vettore non isotropo $v$ (puoi sceglierne uno qualsiasi della base canonica) allora $V=
Ripeti la stessa cosa rispetto a $
Ovviamente la dimensione ad ogni passaggio calerà di $1$ sino a che non otterrai una decomposizione del tipo $V=
Se scrivi la matrice rispetto a questa base scoprirai che sarà diagonale.
Quindi mi stai consigliando di sfruttare il th. di esistenza di basi ortogonali ... e se B' è la base trovata ortogonale, allora la matrice di "." rispetto a B' è diagonale (questo per la definizione di base ortogonale o diagonalizzante). Ok ora provo ...
Sì, perchè trovo che sia un modo più generale per diagonalizzare le forme bilineari (non trattandole come endomorfismi in spazi vettoriali euclidei!).
Io ho provato:
- ho trovato la matrice ortogonale a quella iniziale (che rappresentava la forma bilineare);
- ho riscritto la matrice della rappresentazione della forma rispetto a questa nuova base (data dai vettori che formano la matrice ortogonale);
- ottengo quindi una matrice diagonale
Ora rispetto a quest'ultima ho scritto la forma quadratica e trovato l'insieme dei vettori isotropi.
Il punto è che se prendo il vettore [tex]\textbf{v}=(0,0,k)[/tex] questo annulla l'iniziale forma quadratica (è isotropo)
dove [tex]q(b) = x_1^2 + 2x_2^2 - 2x_1x_2 + 4x_1x_3 + 2x_3x_2[/tex]
ma non quella ottenuta dalla forma canonica:
[tex]q_c(b)=x_1^2 + x_2^2 - 13x_3^2[/tex]
Quindi se nel primo caso apparterrebbe all'insieme dei vettori isotropi di b, nel secondo caso no. Ma ciò non mi pare coerente!
Sapete spiegarmi dove è la falla?
Grazie
- ho trovato la matrice ortogonale a quella iniziale (che rappresentava la forma bilineare);
- ho riscritto la matrice della rappresentazione della forma rispetto a questa nuova base (data dai vettori che formano la matrice ortogonale);
- ottengo quindi una matrice diagonale
Ora rispetto a quest'ultima ho scritto la forma quadratica e trovato l'insieme dei vettori isotropi.
Il punto è che se prendo il vettore [tex]\textbf{v}=(0,0,k)[/tex] questo annulla l'iniziale forma quadratica (è isotropo)
dove [tex]q(b) = x_1^2 + 2x_2^2 - 2x_1x_2 + 4x_1x_3 + 2x_3x_2[/tex]
ma non quella ottenuta dalla forma canonica:
[tex]q_c(b)=x_1^2 + x_2^2 - 13x_3^2[/tex]
Quindi se nel primo caso apparterrebbe all'insieme dei vettori isotropi di b, nel secondo caso no. Ma ciò non mi pare coerente!
Sapete spiegarmi dove è la falla?
Grazie
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