Insieme connesso ma non connesso per archi

[nato_pigro1]

Io so che, sia $DinRR^n$:
$D$ connesso per archi $=>$ $D$ connesso
e che
$D$ connesso e aperto $<=>$ $D$ connesso

non riesco però a trovare un esempio di un insieme connesso ma non connesso per archi, dovrà essere chiuso (se non sbaglio logicamente) e dovrà essere contenuto in uno spazio a più di una dimensione.

[Fioravante Patrone1]

Qui:
http://planetmath.org/?op=getobj&from=o ... hConnected

[nato_pigro1]

c'ho pensato un'ora... non ci sarei mai arrivato...

[Fioravante Patrone1]

Non dico che sia un esempio facile, ma l'idea in sé non è esotica.

Prendo due insiemi che sono "infinitamente vicini" tra loro ma senza un arco che li connetta.

Una idea è usare grafici di funzioni continue. Così non lasciamo libertà di scelta agli archi! Il primo esempio da cui partire credo siano i grafici di y=0 e y=1/x. Solo che si vede che si possono "staccare" tra loro. Allora si prova con insiemi limitati. E a questo punto serve il grafico di una funzione che si schiaccia da qualche parte, ma in una zona limitata del piano. Non solo, se riusciamo a fare un percorso infinito, freghiamo l'arco. A 'sto punto, y=sen (1/x) è un buon candidato...

Come vedi, con un po' di try and error ce se la può fare. Soprattutto se si sa già la soluzione.