Insieme connesso, aperto, chiuso.
Salve a tutti,
ho qualche problema a capire la definizione di insieme connesso.
La definizione che mi è stata data a lezione è la seguente: "Un insieme si dice non connesso se $ EE M sube X $ t.c. $ M != O/ , M != X $ , $ M $ aperto e chiuso (X spazio topologico, ovviamente). Un insieme connesso è un insieme tale per cui non esiste un simile $ M $.
E fin qui, tutto ok. Però poi mi viene detta la cosa seguente:
Se $ M $ è aperto e chiuso, allora $ M nn ( M - X ) = O/ , M uu (X - M) = X $. Con il simbolo $ uu $ intendo in questo caso l'unione disgiunta dei due insiemi. E il mio dubbio è.. se $ M sube X $ come da ipotesi, queste relazioni non valgono per qualunque insieme? Perchè deve necessariamente essere aperto e chiuso? Successivamente queste proprietà vengono assunte vere per ogni insieme aperto e chiuso, e anzi alcune dimostrazioni si basano sul fatto che solo gli insiemi aperti e chiusi si comportano in questo modo. Penso di perdermi in un bicchier d'acqua..
ho qualche problema a capire la definizione di insieme connesso.
La definizione che mi è stata data a lezione è la seguente: "Un insieme si dice non connesso se $ EE M sube X $ t.c. $ M != O/ , M != X $ , $ M $ aperto e chiuso (X spazio topologico, ovviamente). Un insieme connesso è un insieme tale per cui non esiste un simile $ M $.
E fin qui, tutto ok. Però poi mi viene detta la cosa seguente:
Se $ M $ è aperto e chiuso, allora $ M nn ( M - X ) = O/ , M uu (X - M) = X $. Con il simbolo $ uu $ intendo in questo caso l'unione disgiunta dei due insiemi. E il mio dubbio è.. se $ M sube X $ come da ipotesi, queste relazioni non valgono per qualunque insieme? Perchè deve necessariamente essere aperto e chiuso? Successivamente queste proprietà vengono assunte vere per ogni insieme aperto e chiuso, e anzi alcune dimostrazioni si basano sul fatto che solo gli insiemi aperti e chiusi si comportano in questo modo. Penso di perdermi in un bicchier d'acqua..
Risposte
Facile: se \(\displaystyle\emptyset\neq M\subset X \) è aperto e chiuso allora il suo complementare com'è?
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