Insieme connesso
Salve, sto preparando un compito di topologia e facendo degli esercizi mi sono inbattuto in uno che non riesco a risolvere. Ll'esercizio è questo:
Sia $A={(x,y,z) in RR^3| 2xy^2+z^3=4xyz-x^2z}$
a) Provare che l'insieme $A$ non è compatto
b) Provare che l'insieme $A$ è connesso
Allora la prima parte sono riuscito a provarla, infatti basta notare che se pongo $(x,y,z)=(z,z,z)$ questo appartiene all'insieme $A$, ma quella è una parametrizzazione di una retta, la quale non è mai limitata, quindi dentro l'insieme $A$ ci sta una retta. Di conseguenza nemmeno $A$ può essere limitato e quindi neanche COMPATTO!
Ecco adesso arrivano i problemi...come si può fare a dimostrare che questo insieme $A$ è connesso?
Io avevo pensato di esplicitarmi una variabile, (la $x$ o la $y$ per l'esattezza visto che basta risolvere una equazione di secondo grado). In questo modo avrei potuto scrivere il mio insieme $A$ come unione dei due insiemi individuati dalle soluzioni dell'eq di secondo grado; a questo punto avrei cercato il dominio della funzione che mi individua ogni singola parte e sperando che fosse connesso per entrambe le soluzioni avrei concluso che l'unione di connessi che si intersecano è connessa e tramite una funzione continua va a finire nel mio insieme $A$, che quindi risulterebbe connesso. Questo ragionamento però fallisce nel dimostrare che il dominio di ogni parte è connesso in quanto nell'esplicitazione di una variabile viene fuori una variabile a denominatore quindi essendo il dominio (dopo vari calcoli) unione di due quadranti viene sconnesso perchè i quadranti dovrebbero intersecarsi nell'origine, ma questo lo impedisce la variabile a denominatore che si trova.
Non so se sono stato chiaro (forse no, mi dispiace), però non riesco a risolvere questo esercizio, quindi ho bisogno del vostro aiuto.
Sia $A={(x,y,z) in RR^3| 2xy^2+z^3=4xyz-x^2z}$
a) Provare che l'insieme $A$ non è compatto
b) Provare che l'insieme $A$ è connesso
Allora la prima parte sono riuscito a provarla, infatti basta notare che se pongo $(x,y,z)=(z,z,z)$ questo appartiene all'insieme $A$, ma quella è una parametrizzazione di una retta, la quale non è mai limitata, quindi dentro l'insieme $A$ ci sta una retta. Di conseguenza nemmeno $A$ può essere limitato e quindi neanche COMPATTO!
Ecco adesso arrivano i problemi...come si può fare a dimostrare che questo insieme $A$ è connesso?
Io avevo pensato di esplicitarmi una variabile, (la $x$ o la $y$ per l'esattezza visto che basta risolvere una equazione di secondo grado). In questo modo avrei potuto scrivere il mio insieme $A$ come unione dei due insiemi individuati dalle soluzioni dell'eq di secondo grado; a questo punto avrei cercato il dominio della funzione che mi individua ogni singola parte e sperando che fosse connesso per entrambe le soluzioni avrei concluso che l'unione di connessi che si intersecano è connessa e tramite una funzione continua va a finire nel mio insieme $A$, che quindi risulterebbe connesso. Questo ragionamento però fallisce nel dimostrare che il dominio di ogni parte è connesso in quanto nell'esplicitazione di una variabile viene fuori una variabile a denominatore quindi essendo il dominio (dopo vari calcoli) unione di due quadranti viene sconnesso perchè i quadranti dovrebbero intersecarsi nell'origine, ma questo lo impedisce la variabile a denominatore che si trova.
Non so se sono stato chiaro (forse no, mi dispiace), però non riesco a risolvere questo esercizio, quindi ho bisogno del vostro aiuto.
Risposte
"trefe.ra4":Magnifico errore!
...inbattuto...
[size=85](non ti sentire preso in giro)[/size]Per salvare il tuo ragionamento, così mi sembra, poni \(x=0\) e vedi che accade!
Se c'ho visto bene risolvi tutto l'esercizio così.
"j18eos":Magnifico errore!
[quote="trefe.ra4"]...inbattuto...
[size=85](non ti sentire preso in giro)[/size]Per salvare il tuo ragionamento, così mi sembra, poni \(x=0\) e vedi che accade!
Se c'ho visto bene risolvi tutto l'esercizio così.[/quote]
E perché?
"trefe.ra4":
viene sconnesso perchè i quadranti dovrebbero intersecarsi nell'origine, ma questo lo impedisce la variabile a denominatore che si trova.
Non so se sono stato chiaro (forse no, mi dispiace), però non riesco a risolvere questo esercizio, quindi ho bisogno del vostro aiuto.
Ti sei espresso male, però penso di avere capito. In realtà quando espliciti la variabile in questione supponi implicitamente che i vari denominatori non si annullino. Se questi si annullano devi verificare a mano cosa succede ad \(A\). L'origine \((x, y, z)=(0,0,0)\), ad esempio, appartiene ad \(A\) perché lo verifichi subito per ispezione diretta. Lo stesso vale per gli assi delle \(x\) e delle \(y\).
Il metodo che hai seguito comunque mi pare corretto e, ti dirò, non mi viene in mente nient'altro di meno laborioso come conti. Ma sono tutt'altro che un esperto.
Dopo avere visto un plot della superficie ad opera di Maple mi è venuta un'idea per risolvere l'esercizio senza conti pesanti. Ecco il plot:
Un suggerimento per la risoluzione:
se un sottoinsieme di \(\mathbb{R}^n\) è stellato, ovvero se contiene un punto che può essere connesso ad ogni altro punto dell'insieme con un segmento, allora è connesso. Il grafico suggerisce che \(A\) è stellato, provare a dimostrarlo.
La soluzione:
Un suggerimento per la risoluzione:
se un sottoinsieme di \(\mathbb{R}^n\) è stellato, ovvero se contiene un punto che può essere connesso ad ogni altro punto dell'insieme con un segmento, allora è connesso. Il grafico suggerisce che \(A\) è stellato, provare a dimostrarlo.
La soluzione:
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