Insieme Connesso
ragazzi quand'è che un insieme si dice connesso???
Risposte
La connessione è un concetto topologico. Intuitivamente è un qualcosa tutto di un pezzo.
Uno spazio topologico $X$ è connesso se non si può ripartire in aperti, ossia se $X=U uu V, U,V$ aperti, allora $U = \O$ oppure $V = \O$.
Per quanto riguarda sottinsiemi di $RR^n$ esiste una caratterizzazione molto semplice: la connessione per poligonali. Un sottospazio $X sube RR^n$ dotato della topologia naturale riesce connesso se e solo se $AA x,y in X, EE P(x,y) sube X$, dove $P(x,y)$ è una poligonale di estremi $x,y$.
Uno spazio topologico $X$ è connesso se non si può ripartire in aperti, ossia se $X=U uu V, U,V$ aperti, allora $U = \O$ oppure $V = \O$.
Per quanto riguarda sottinsiemi di $RR^n$ esiste una caratterizzazione molto semplice: la connessione per poligonali. Un sottospazio $X sube RR^n$ dotato della topologia naturale riesce connesso se e solo se $AA x,y in X, EE P(x,y) sube X$, dove $P(x,y)$ è una poligonale di estremi $x,y$.
"zorn":
Per quanto riguarda sottinsiemi di $RR^n$ esiste una caratterizzazione molto semplice: la connessione per poligonali. Un sottospazio $X sube RR^n$ dotato della topologia naturale riesce connesso se e solo se $AA x,y in X, EE P(x,y) sube X$, dove $P(x,y)$ è una poligonale di estremi $x,y$.
Su questo non sono proprio d'accordo: una circonferenza in $R^2$ è connessa, ma non connessa per poligonali. Direi che la connessione per poligonali implica la connessione, ma non viceversa.
l'equivalenza fra connesso e connesso per poligonali vale per connessi che siano anche aperti
la dim, che e' "straighforward", penso la si possa trovare in giro, anche se non so indicare un riferimento
l'idea e' semplice. Ho $A$ connesso. Prendo un punto $a$ di $A$ (se $A$ e' vuoto, la dim e' finita prima ancora di cominciare). Chiamo $C$ l'insieme dei punti che posso connettere ad $a$ con poligonali. E' un aperto, come si dim facile. Ergo...
la dim, che e' "straighforward", penso la si possa trovare in giro, anche se non so indicare un riferimento
l'idea e' semplice. Ho $A$ connesso. Prendo un punto $a$ di $A$ (se $A$ e' vuoto, la dim e' finita prima ancora di cominciare). Chiamo $C$ l'insieme dei punti che posso connettere ad $a$ con poligonali. E' un aperto, come si dim facile. Ergo...
X Lorenzo Pantieri:
sei sicuro che stiamo parlando della stessa cosa? Perché la circonferenza è addirittura convessa, quindi è immediatamente connessa per poligonali.
Comunque il mio riferimento è Tallini... avevo dimenticato di aggiungere che la cosa vale per gli aperti
sei sicuro che stiamo parlando della stessa cosa? Perché la circonferenza è addirittura convessa, quindi è immediatamente connessa per poligonali.
Comunque il mio riferimento è Tallini... avevo dimenticato di aggiungere che la cosa vale per gli aperti
Sorry! La circonferenza non il cerchio... Certo è chiaro... deve essere anche aperto...
"zorn":
X Lorenzo Pantieri:
"zorn":
Sorry! La circonferenza non il cerchio... Certo è chiaro... deve essere anche aperto...
una precisazione: non e' che "deve" essere aperto
essere aperto e' CS perche" valga l'equivalenza fra connesso e connesso per poligonali
ovviamente anche il cerchio chiuso e' connesso per poligonali
sì sì... sono stato un po' ingenuo e frettoloso...
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