Insieme chiuso in uno spazio topologico T2
Sia $X$ uno spazio topologico T2 e sia $AsubeX$ un sottoinsieme tale che presa $i: A-> X$ l’inclusione, esiste un’applicazione continua $r : X-> A$ tale che $r\circi = Id_A$. Si provi che $A$ è chiuso in $X$.
Ho provato in diversi modi ma non sono riuscito, più che altro non so come usare che $X$ è T2, devo per cas mostrare che $A$ è compatto?
Ho provato in diversi modi ma non sono riuscito, più che altro non so come usare che $X$ è T2, devo per cas mostrare che $A$ è compatto?
Risposte
Il sottospazio A è esattamente l'equalizzatore di ir e dell'identità, e i sottoggetti regolari di uno spazio di Hausdorff sono chiusi (perché controimmagine di un chiuso, quale e mediante quale mappa continua? È proprio lì che usi l'ipotesi su X)
"megas_archon":
Il sottospazio A è esattamente l'equalizzatore di ir e dell'identità, e i sottoggetti regolari di uno spazio di Hausdorff sono chiusi (perché controimmagine di un chiuso, quale e mediante quale mappa continua? È proprio lì che usi l'ipotesi su X)
Aspetta ma il fatto che la controimmagine di un chiuso sia un chiuso non viene dalla continuità? Non ho ben capito cosa intendi (non so cosa sia un equalizzatore e un sottoggetto regolare
)
Se \(f,g : X \rightrightarrows Y\) sono mappe continue tra spazi T2, allora il loro equalizzatore \(E = \{x\in X\mid fx=gx\}\) è chiuso in $X$.
La dimostrazione è una riga: \(E = \langle f,g\rangle^{-1}(\Delta)\), dove \(\langle f,g\rangle : X \to Y\times Y : x \mapsto (fx,gx)\) e \(\Delta\subseteq Y\times Y\) è la diagonale; del resto, siccome $Y$ è T2, la diagonale è chiusa, ed \(\langle f,g\rangle\) è continua.
Se scegli \(f=i\circ r, g= id_X\) ottieni la tesi che cerchi.
"megas_archon":Se \(f,g : X \rightrightarrows Y\) sono mappe continue tra spazi T2, allora il loro equalizzatore \(E = \{x\in X\mid fx=gx\}\) è chiuso in $X$.
La dimostrazione è una riga: \(E = \langle f,g\rangle^{-1}(\Delta)\), dove \(\langle f,g\rangle : X \to Y\times Y : x \mapsto (fx,gx)\) e \(\Delta\subseteq Y\times Y\) è la diagonale; del resto, siccome $Y$ è T2, la diagonale è chiusa, ed \(\langle f,g\rangle\) è continua.
Se scegli \(f=i\circ r, g= id_X\) ottieni la tesi che cerchi.
Ok, grazie
Sì, questa dimostrazione è [strike]una pigna in c[/strike]inutilmente lunga ed elementare. Molto meglio la mia.
"megas_archon":
Sì, questa dimostrazione è [strike]una pigna in c[/strike]inutilmente lunga ed elementare. Molto meglio la mia.
Senza dubbio maestro
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