Insieme chiuso e suo complementare

[matstardo]

Buongiorno a tutti.
Vorrei chiedervi una delucidazione e un aiuto sulla dimostrazione della seguente proposizione:

Se un insieme $ Esube R^N $ è chiuso se e solo se $ R^N \\ E $ è aperto.

ho tentato di dimostrarlo attraverso il fatto che la sua chiusura appartiene a $ E $ pertanto la frontiera appartiene ad $ E $ e non a $ R^N \\ E $ ; ma non mi convince molto.

Sono certo che sia una banalità, ma non riesco a venirne a capo.
Grazie in anticipo per eventuali aiuti.

[matstardo]

Sia $ E $ un insieme chiuso. Dunque $ E $ contiene tutti i punti che gli sono aderenti. Ma allora, se è x ∈ $ R^N \\ E $, x non può essere aderente a $ E $. Deve perciò esistere una sfera S di centro x priva di punti di $ E $, ma allora è $ S ⊂ R^N \\ E $ . Si conclude che ogni punto di $ R^N \\ E $ gli è interno e che, pertanto, tale insieme è aperto.