Insieme chiuso e invariante implica mai denso
Ciao a tutti!
Sto cercando di dimostrare questo:
Data \(\displaystyle M \) superficie differenziabile e \(\displaystyle T_t \) un flusso su \(\displaystyle M \), se \(\displaystyle N \) è chiuso e invariante allora si verifica solo una tra:
- \(\displaystyle N=M \)
- \(\displaystyle N \) è mai denso in \(\displaystyle M \)
Che ho tradotto in: l'unico sottoinsieme chiuso e invariante di \(\displaystyle M \) che è denso in \(\displaystyle M \), è proprio \(\displaystyle M \). è giusta la mia interpretazione?
Poi ho provato a dimostrarlo ma con insuccesso.
Mi son detto, supponiamo che esista \(\displaystyle N\ne M \) chiuso, invariante e denso in \(\displaystyle M \), allora dovrei trovare un assurdo. Infatti, usando solo l'ipotesi della chiusura:
\(\displaystyle \bar{N}=M, N\ne M \) , ma allora \(\displaystyle N\ne \bar{N} \). Dato che N è chiuso abbiamo trovato l'assurdo.
Immagino che sia sbagliata per vari motivi:
- non ho usato l'invarianza, né il fatto che M sia una varietà
- non avendo usato queste ipotesi M e N possono essere insieme qualunque ma allora la densità di Q (che è chiuso) in R è un controesempio alla mia dimostrazione.
HELP
Grazie
Davide
Sto cercando di dimostrare questo:
Data \(\displaystyle M \) superficie differenziabile e \(\displaystyle T_t \) un flusso su \(\displaystyle M \), se \(\displaystyle N \) è chiuso e invariante allora si verifica solo una tra:
- \(\displaystyle N=M \)
- \(\displaystyle N \) è mai denso in \(\displaystyle M \)
Che ho tradotto in: l'unico sottoinsieme chiuso e invariante di \(\displaystyle M \) che è denso in \(\displaystyle M \), è proprio \(\displaystyle M \). è giusta la mia interpretazione?
Poi ho provato a dimostrarlo ma con insuccesso.
Mi son detto, supponiamo che esista \(\displaystyle N\ne M \) chiuso, invariante e denso in \(\displaystyle M \), allora dovrei trovare un assurdo. Infatti, usando solo l'ipotesi della chiusura:
\(\displaystyle \bar{N}=M, N\ne M \) , ma allora \(\displaystyle N\ne \bar{N} \). Dato che N è chiuso abbiamo trovato l'assurdo.
Immagino che sia sbagliata per vari motivi:
- non ho usato l'invarianza, né il fatto che M sia una varietà
- non avendo usato queste ipotesi M e N possono essere insieme qualunque ma allora la densità di Q (che è chiuso) in R è un controesempio alla mia dimostrazione.
HELP
Grazie
Davide
Risposte
Ci sono un paio di cose non chiare: un insieme chiuso è denso in se e non in un suo sovrainsieme; cos'è un insieme invariante rispetto a un flusso?
Ok, si parla di sistemi dinamici, un flusso è un'applicazione \(\displaystyle \phi : R \times M \to M \) che, in breve, descrive le orbite di un sistema dinamico. Un insieme è detto invariante se tutte le orbite dei suoi punti sono contenute in M.
Appunto, quindi se N, sottoinsieme di M, è chiuso abbiamo che se:
1 - N mai denso in M, vabbè ok
2 - N denso in M, allora N deve coincidere con M come hai detto tu.
Ma quindi questo basta a concludere ciò che sto cercando? O sto sbagliando qualcosa?
un insieme chiuso è denso in se e non in un suo sovrainsieme
Appunto, quindi se N, sottoinsieme di M, è chiuso abbiamo che se:
1 - N mai denso in M, vabbè ok
2 - N denso in M, allora N deve coincidere con M come hai detto tu.
Ma quindi questo basta a concludere ciò che sto cercando? O sto sbagliando qualcosa?
Alla fine sì: è un esercizio di topologia per come lo esponi; un insieme chiuso \(\displaystyle Y\) di \(\displaystyle X\), se denso risulta \(\displaystyle X=Y\)!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo