Insieme chiuso con interno vuoto.

[rbtqwt]

Buon giorno,
non riesco a capire parte di un esempio di topologia.
Nell'esempio si considera lo spazio $C [0,1]$ delle funzioni $f : [0,1] \to \mathbb R$ continue, dotato della norma del sup. Se $E$ è un sottointervallo di $[0,1]$, viene definito l'insieme $X(E)$ delle funzioni di $C[0,1]$ non decrescenti su $E$. Senza dire alcunché, viene riportato che l'insieme $X(E)$ è chiuso ed ha interno vuoto. Purtroppo non riesco ad afferrarlo! Come posso mostrarlo?

Grazie!

[dissonance]

Per semplicità cominciamo a considerare $E=[0, 1]$, $X=X(E)$. Mostrare che $X$ è chiuso con interno vuoto equivale a dire che:
a) Per ogni successione $(f_n)$ in $X$, convergente uniformemente verso $f$ funzione continua in $[0, 1]$, risulta che $f$ è in $X$, ovvero che $f$ è non decrescente;
b) Per ogni $f\in X$ e per ogni $epsilon>0$ la sfera aperta $B(f; epsilon)$ non è contenuta in $X$, ovvero esiste una funzione $g$ continua e decrescente, uniformemente distante da $f$ meno di $epsilon$.

dim. a) Siano $x, y\in[0, 1], x
dim. b) Fissiamo $epsilon>0$. Essendo $[0, 1]$ compatto, la funzione $f$ è uniformemente continua, quindi
$\exists delta>0\ :\ (|x-y|(|f(x)-f(y)| Partizionamo l'intervallo $[0, 1]$ in sottointervalli $[0=x_0, x_1], [x_1, x_2], ... , [x_{n-1}, x_n=1]$ di ampiezza minore di $delta$. A questo possiamo definire una funzione $g$ continua in $[0, 1]$, non monotona, uniformemente distante da $f$ meno di $epsilon$ come nel disegno (click per ingrandire):
(con tratto spesso $y=f(x)$, con tratto fine $y=g(x)$). Spero ti vada bene questa idea intuitiva, non avevo voglia di fare calcoli...

[rbtqwt]

Pensavo che il risultato fosse un'ovvietà, invece vedo che per costruire esplicitamente la funzione del passo b) è necessario un certo lavoro! Invece, per il punto a), era sufficiente pensarci un poco..

Il risultato in questione, che mi ha spinto a formulare la domanda, veniva utilizzato per dimostrare l'esistenza di una funzione continua e mai monotona sull'intervallo $[0,1]$.

Grazie, molto gentile per la risposta !