Insieme Chiuso

[Bluff1]

Ciao a tutti. E' la prima volta che scrivo nel sito e non so se sia giusto scrivere qui. Essendo alle prime volte che studio un po' più seriamente matematica, avrei qualche problema con una dimostrazione. Io dovrei far vedere che un insieme è chiuso se e solo se contiene i suoi punti di accumulazione. Il mio problema è un po' di difficoltà nel muovermi con la dimostrazione.
Ho provato a fare qualcosa e ve lo scrivo, anche se forse sono idiozie .

Se devo dimostrare che se è chiuso contiene i punti di accumulazione allora partendo dall'ipotesi che è chiuso, prendo un punto di accumulazione. Devo dire che questo appartiene all'insieme chiuso. Se gli appartiene deve essere o interno o un estremo ed in entrambi i casi verifica la condizione di punto di accumulazione.

Se devo dimostrare che se contiene i punti di accumulazione allora è chiuso considero il fatto che il complementare dell'insieme deve essere aperto, cioè un insieme fatto tutto di punti interni. Qui però mi perdo.

Non so se voi potete aiutarmi o meno.

[j18eos]

Benvenut*, la tua prima implicazione non vabbene in quanto cos'è un punto estremo per un insieme?

Io la prima implicazione la dimostrerei per assurdo, ovvero: un punto di accumulazione non appartenga a tale insieme chiuso, quindi appartiene al complementare il quale è... prosegui tu!

[Bluff1]

il complementare è aperto ma
Forse se io ora prendo il mio punto che deve essere di accumulazione per l'insieme chiuso, riesco a trovare un intorno di questo punto che non interseca il mio insieme chiuso e quindi non può essere un punto di accumulazione per esso. Giusto? E il viceversa?

[j18eos]

Giusto!

Detto [tex]$T$[/tex] tale insieme, la sua chiusura [tex]$\overline T$[/tex] è l'unione di [tex]$T$[/tex] col suo derivato [tex]$D(T)$[/tex]; nelle correnti ipotesi ottieni che...

[Bluff1]

Seguendo il tuo ragionamento io devo dimostrare che $\bar{T}$$=T$. Per ipotesi so per certo che $D(T)$ appartengono all'insieme. Quindi se per assurdo il mio insieme $T$ non fosse un insieme chiuso allora avrei che il suo complementare non sarebbe un aperto. Ma se prendo un punto del complementare questo non è interno all'insieme perchè questo non è aperto. Quindi io posso prendere un intorno di questo punto che non è tutto contenuto nell'insieme e avrei che il punto preso sarebbe un punto di accumulazione. Ma ho un assurdo, cioè il punto di accumulazione appartiene all'insieme non aperto mentre per ipotesi so che appartiene a $T$. Quindi? Come concludo sempre se il ragionamento è giusto?

[j18eos]

Essendo dalle tue ipotesi [tex]$\overline T=T\cup D(T)=T$[/tex], un insieme coinciderebbe con la sua chiusura se e solo se fosse chiuso. -_-

[Bluff1]

Grazie. La stavo facendo più complicata di quanto pensavo. Comunque posso postare sempre qui se avessi dei dubbi di questo genere?

[dissonance]

"j18eos":Essendo dalle tue ipotesi [tex]$\overline T=T\cup D(T)=T$[/tex], un insieme coinciderebbe con la sua chiusura se e solo se fosse chiuso. -_-

Ma perché il condizionale? Un insieme coincide con la propria chiusura se e solo se è chiuso. O vuoi dire qualcos'altro?

[j18eos]

A me alle scuole elementari (non saprei oggi come chiamarle) mi hanno insegnato che il congiuntivo si abbina bene al condizionale!

In genere si dice:

Un insieme coincide con la sua chiusura (in un dato spazio topologico) se e solo se [size=150]è[/size] chiuso!

per me è una frustata all'orecchio una cosa del genere!