Insicurezze su diagonalizzazione di matrici

[-DNT-]

Ciao a tutti, ho un esame di algebra lineare a Gennaio. Sto ripetendo un po' tutto il programma (con non poca fatica, basti pensare che oggi è la vigilia e sono alle prese con la diagonalizzazione ) però mi sono "bloccato" su una prova d'esame.
La traccia dice:
Data una matrice A:
$A=((0,2,-2),(2,2,0),(2,0,2))$

Trovare autovalori e autospazi di A.
A è diagonalizzabile?

Fino al punto 1 ci siamo. Calcolo il polinomio caratteristico e arrivo a trovare che:

$lambda =0$ con $m.a.=1$
$lambda =2$ con $m.a.=2$[/list:u:38896628]
Poi sostituisco gli autovalori e trovo i seguenti autospazi:

$V(0) {v=(-1,1,0) v'=(0,0,1)}$ e cioé: $m.g. =2$
$V(2) {u=(0,1,1)}$ e cioé: $m.g. =1$

Ora ho che: gli autovalori formano una base di $V^3$, giusto? E inoltre ho autovalori reali, quindi A dovrebbe essere diagonalizzabile.

Però non ho autovalori distinti (uno è soluzione doppia) e inoltre $m.a.$ e $m.g.$ sono diverse, però la loro somma è $n$ (dimensione di $V^3$).
Non saprei concludere ora dicendo se A è diagonalizzabile, dovrebbe esserlo perché ho una base di autovettori, però gli autovalori hanno molteplicità diverse.

Inoltre avevo il seguente dubbio:
Sempre la matrice A:
$A=((0,2,-2),(2,2,0),(2,0,2))$
Se cambio di segno la terza colonna, A diventa una matrice simmetrica. È una operazione lecita farlo?

Grazie in anticipo a chi mi risponderà a questi dubbi che vi sembreranno banali, ma mi hanno bloccato e buon Natale!

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Le radici del polinomio caratteristico sono $\lambda_1=\lambda_2=2$ e $\lambda_3=0$.

La radice $\lambda_1=\lambda_2=2$ produce un autospazio di dimensione $1$, non è regolare.

Nei tuoi calcoli ci sono degli errori, forse le cose non sono proprio chiare.

Probabile che hai scritto male la matrice $A$.

[-DNT-]

Le radici del polinomio che hai scritto sono le stesse che ho trovato.
Mi trovo anche con l'autospazio associato al $lambda = 2$, che è di dimensione 1.
Dov'è l'errore?
e per le altre cose?

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"DNT":Le radici del polinomio che hai scritto sono le stesse che ho trovato.
Mi trovo anche con l'autospazio associato al $lambda = 2$, che è di dimensione 1.
Dov'è l'errore?
e per le altre cose?

L'errore che commetti, abbastanza grave, è dire che l'autovalore $0$ è semplice e poi esibisci l'autospazio associato di dimensione $2$. Se una radice è semplice "restituisce" un'autospazio di dimensione $1$.

L'altro autovalore $2$ ha molteplicità algebrica $2$ e può "restituire" un autospazio di dimensione al più $2$. Nel nostro caso l'autospazio associato (ho controllato) ha dimensione $1$, non è regolare e possiamo concludere che l'endomorfismo non è diagonalizzabile.

Vedi i tuoi errori, e controlla anche se hai scritto la matrice bene.

Se anche la matrice è questa devi constatare che un autovalore semplice non può avere un autospazio di dimensione $2$.
Ricorda che la molteplicità geometrica è maggiore o uguale di $1$ e minore o uguale della molteplicità algebrica.