Iniettività operatore lineare e Kernel

[Studente Anonimo]

Buonasera,

Non riesco a capire un concetto riguardante gli operatori lineari.

Consideriamo l'equazione

$Lambdau= Phi$

Dove

$Lambda=(L_0,L_1, ..., L_k):X->Y$ è un operatore lineare che agisce tra due spazi vettoriali metrici $X$ ed $Y$

e

$Phi= (f, phi_1, ..., phi_k)$ è un vettore assegnato in $Y$.

Per determinare l'unicità della soluzione $u$ devo provare che l'operatore $Lambda$ è iniettivo.

Quello che non capisco è:

Perché per provare che $Lambda$ è iniettivo, è sufficiente provare che $Lambdau=0 rArr u=0$ ?

ATTENZIONE: Sono consapevole del fatto che
1) questo è vero solo se l'operatore è lineare
2) trovare le $u$ che soddisfano
$Lambdau=0$
significa trovare le soluzioni che appartengono al Kernel di $Lambda$.

Quello che non capisco è:
Perché $u$ deve essere proprio uguale a zero?
Non dovrei dire, piuttosto, che deve essere unica? Ovvero che il kernel di $Lambda$ deve essere composto da un solo elemento?

[Studente Anonimo]

Perché [tex]\Lambda 0 = 0[/tex].

[Studente Anonimo]

"Martino":Perché [tex]\Lambda 0 = 0[/tex].

E perché [tex]\Lambda 0 = 0[/tex]?

[Studente Anonimo]

"anonymous_f3d38a":[quote="Martino"]Perché [tex]\Lambda 0 = 0[/tex].

E perché [tex]\Lambda 0 = 0[/tex]?[/quote]Voglio dire che se $0$ ha un'unica preimmagine allora questa preimmagine dev'essere $0$, dato che $0$ è una preimmagine.

Ora chiedi perché $0$ è una preimmagine, cioè perché $\Lambda 0 = 0$. Questo è un fatto elementare. Se $f:V to W$ è una funzione lineare tra due spazi vettoriali $V$ e $W$ allora $f(0)=0$.

Dimostrazione: siccome $0 = 0+0$ abbiamo $f(0) = f(0+0) = f(0)+f(0)$ e quindi $f(0) = f(0)+f(0)$. Sottraendo $f(0)$ ai due membri, otteniamo $f(0)=0$.

[Studente Anonimo]

molto interessante, grazie Martino!

[vict85]

È un fatto dimostrabile in altri modi.
Sia \(\mathbf{v}\in X\) un vettore qualsiasi. Allora \(0\mathbf{v} = \mathbf{0}\) (il primo è l'elemento \(0\) del campo, il secondo dello spazio vettoriale). Siccome \(\Lambda(\alpha \mathbf{v}) = \alpha \Lambda(\mathbf{v})\) per ogni \(\alpha\in\mathbb{K}\) e \(\mathbf{v}\in X\), si avrà anche \(\Lambda(\mathbf{0}_X) = \Lambda(0\mathbf{v}) = 0\Lambda(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_Y\)