Iniettività linearità

[gago1]

esercizio:

sia w un versore e sia $T:V rarr V$ con $T(x)=(x*w)w$.
Rispondere alle domande:
1)T è lineare? (secondo me si applicando la definizione di linearità)
2)T è iniettiva? (non sono riuscito a trovare due vettori che abbiamo immagine uguale quindi si è iniettiva)
3)esiste qualche x tale che $T(T(x))!=T(x)$?

chi mi aiuta con la 3)? le prime due sono corrette?

[franced]

"gago":
sia w un versore e sia $T:V rarr V$ con $T(x)=(x*w)w$.

2)T è iniettiva? (non sono riuscito a trovare due vettori che abbiamo immagine uguale quindi si è iniettiva)

No, prendi ad esempio due vettori $x_1$, $x_2$ ortogonali a $w$ e vedi cosa accade..

[gago1]

"franced":[quote="gago"]
sia w un versore e sia $T:V rarr V$ con $T(x)=(x*w)w$.

2)T è iniettiva? (non sono riuscito a trovare due vettori che abbiamo immagine uguale quindi si è iniettiva)

No, prendi ad esempio due vettori $x_1$, $x_2$ ortogonali a $w$ e vedi cosa accade..[/quote]

ah è vero hanno entrambi immagine zero quindi non è iniettiva.
Riguardo la 3) domanda però non avrei idee su come svolgere perchè non capisco cosa sia t(t(x))

[franced]

"gago":[quote="franced"][quote="gago"]
sia w un versore e sia $T:V rarr V$ con $T(x)=(x*w)w$.

2)T è iniettiva? (non sono riuscito a trovare due vettori che abbiamo immagine uguale quindi si è iniettiva)

No, prendi ad esempio due vettori $x_1$, $x_2$ ortogonali a $w$ e vedi cosa accade..[/quote]

ah è vero hanno entrambi immagine zero quindi non è iniettiva.
Riguardo la 3) domanda però non avrei idee su come svolgere perchè non capisco cosa sia t(t(x))[/quote]

Si tratta della trasformazione che si ottiene applicando $T$ due volte.

[gago1]

"franced":[quote="gago"][quote="franced"][quote="gago"]
sia w un versore e sia $T:V rarr V$ con $T(x)=(x*w)w$.

2)T è iniettiva? (non sono riuscito a trovare due vettori che abbiamo immagine uguale quindi si è iniettiva)

No, prendi ad esempio due vettori $x_1$, $x_2$ ortogonali a $w$ e vedi cosa accade..[/quote]

ah è vero hanno entrambi immagine zero quindi non è iniettiva.
Riguardo la 3) domanda però non avrei idee su come svolgere perchè non capisco cosa sia t(t(x))[/quote]

Si tratta della trasformazione che si ottiene applicando $T$ due volte.[/quote]

E quindi dovrei calcolare $T((x*w)w)$? ma non ho trovato nulla

[franced]

Dunque:

$T(x) = (x*w) w$ con $||w||=1$ ;

$T(T(x)) = T ((x*w) w) = ((x*w) w * w) w$

dal momento che risulta $(x*w) w * w = (x*w)$ ($w$ è un versore), abbiamo:

$T(T(x)) = (x*w) w$ .

[gago1]

"franced":Dunque:

$T(x) = (x*w) w$ con $||w||=1$ ;

$T(T(x)) = T ((x*w) w) = ((x*w) w * w) w$

dal momento che risulta $(x*w) w * w = (x*w)$ ($w$ è un versore), abbiamo:

$T(T(x)) = (x*w) w$ .

ah ecco devo sostituire alla x T(x). ok capito grazie mille!

[franced]

"gago":[quote="franced"]Dunque:

$T(x) = (x*w) w$ con $||w||=1$ ;

$T(T(x)) = T ((x*w) w) = ((x*w) w * w) w$

dal momento che risulta $(x*w) w * w = (x*w)$ ($w$ è un versore), abbiamo:

$T(T(x)) = (x*w) w$ .

ah ecco devo sostituire alla x T(x). ok capito grazie mille![/quote]


Prego.